Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.” A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que podemos ler diretamente da definição da função):
- A função envolve duas partes que impõem restrições de definição:
- a raiz quadrada
exige que o argumento seja não negativo, isto é ; - o logaritmo natural
exige que o argumento seja estritamente positivo, isto é .
- a raiz quadrada
- O domínio natural (onde a função está definida) é o conjunto de pontos
que satisfazem as duas desigualdades acima. - A pergunta quer o “maior conjunto” onde
é contínua — isto costuma significar: a maior parte de onde está bem definida e é contínua.
Passo 2
Determinar o domínio de definição (onde
faz sentido como número real).
- Para
ser real precisamos de . - Para
ser real precisamos de , ou seja .
Portanto o domínio natural é
Esse é o conjunto de todos os pontos onde
está definida como número real.
Passo 3
Lembrando fatos básicos de continuidade (pequena “aula” usada na resolução):
- Funções elementares conhecidas são contínuas em seus domínios: a função
é contínua em e a função é contínua em . - Se
e são contínuas num ponto , então o produto é contínuo em . - Composição: se
é contínua em e é contínua em com , então é contínua em .
Aplicando aos nossos fatores:
- A função
é polinomial em , logo contínua em todo . Compor com (contínua em ) dá que é contínua em todos os pontos com . - A função
é contínua em todo ; compor com (contínua em ) dá que é contínua em todos os pontos com , isto é, . - Logo cada fator de
é contínuo nos pontos do domínio .
Passo 4
Conclusão padrão sobre o produto: como
é contínua em
e
é contínua em
, e essas dependem de variáveis diferentes (mas isso não importa), o produto
é contínuo em todo ponto de
. Isto decorre da propriedade que produto de funções contínuas é contínuo.
Passo 5
Verificar pontos na “fronteira”
(ou seja
): há alguma preocupação?
- Nos pontos com
e o fator vale , enquanto é finito (porque ). Se uma sequência com e , então e finito. Pelo teorema do limite do produto, o produto tende a , ou seja tende ao valor . Portanto é contínua também nesses pontos da fronteira onde (contínuo à esquerda do domínio do sqrt porque sqrt é contínuo em ). - Não há problema semelhante com
porque aí não está definido (tende a quando ), então pontos com não pertencem ao domínio e não fazem parte do conjunto onde podemos falar de continuidade.
Passo 6
Mostrar que não é possível estender a continuidade além de
:
- Para
a função não é definida (ou não é real), logo nenhum ponto com pode pertencer a um conjunto onde seja contínua como função real. - Para
a raiz não é real, então também não dá para incluir tais pontos.
Portanto não há conjunto maior que contenhaem que esteja definida e contínua como função real de . Assim é o maior conjunto de continuidade.