Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y, z)=\sqrt{y-x^{2}} \ln (z-1).

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.” A função dada é
f(x,y,z)=\sqrt{y-x^{2}}\;\ln(z-1).
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que podemos ler diretamente da definição da função):
  • A função envolve duas partes que impõem restrições de definição:
    • a raiz quadrada \sqrt{y-x^{2}} exige que o argumento seja não negativo, isto é \,y-x^{2}\ge 0;
    • o logaritmo natural \ln(z-1) exige que o argumento seja estritamente positivo, isto é \,z-1>0.
  • O domínio natural (onde a função está definida) é o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem as duas desigualdades acima.
  • A pergunta quer o “maior conjunto” onde f é contínua — isto costuma significar: a maior parte de \mathbb{R}^{3} onde f está bem definida e é contínua.

Passo 2

Determinar o domínio de definição (onde f faz sentido como número real).
  • Para \sqrt{y-x^{2}} ser real precisamos de \,y-x^{2}\ge 0.
  • Para \ln(z-1) ser real precisamos de \,z-1>0, ou seja \,z>1.
    Portanto o domínio natural é
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y-x^{2}\ge 0,\; z>1\}.
Esse é o conjunto de todos os pontos onde f está definida como número real.

Passo 3

Lembrando fatos básicos de continuidade (pequena “aula” usada na resolução):
  • Funções elementares conhecidas são contínuas em seus domínios: a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em [0,\infty) e a função u\mapsto\ln(u) é contínua em (0,\infty).
  • Se g e h são contínuas num ponto p, então o produto g\cdot h é contínuo em p.
  • Composição: se G é contínua em a e \varphi é contínua em x com \varphi(x)=a, então G\circ\varphi é contínua em x.
Aplicando aos nossos fatores:
  • A função (x,y)\mapsto y-x^{2} é polinomial em (x,y), logo contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Compor com t\mapsto\sqrt{t} (contínua em [0,\infty)) dá que (x,y)\mapsto\sqrt{y-x^{2}} é contínua em todos os pontos com y-x^{2}\ge 0.
  • A função z\mapsto z-1 é contínua em todo \mathbb{R}; compor com u\mapsto\ln u (contínua em (0,\infty)) dá que z\mapsto\ln(z-1) é contínua em todos os pontos com z-1>0, isto é, z>1.
  • Logo cada fator de f é contínuo nos pontos do domínio D.

Passo 4

Conclusão padrão sobre o produto: como (x,y)\mapsto\sqrt{y-x^{2}} é contínua em \{y-x^{2}\ge 0\} e z\mapsto\ln(z-1) é contínua em \{z>1\}, e essas dependem de variáveis diferentes (mas isso não importa), o produto
f(x,y,z)=\sqrt{y-x^{2}}\;\ln(z-1)
é contínuo em todo ponto de D. Isto decorre da propriedade que produto de funções contínuas é contínuo.

Passo 5

Verificar pontos na “fronteira” y-x^{2}=0 (ou seja y=x^{2}): há alguma preocupação?
  • Nos pontos com y=x^{2} e z>1 o fator \sqrt{y-x^{2}} vale \sqrt{0}=0, enquanto \ln(z-1) é finito (porque z-1>0). Se uma sequência (x_{n},y_{n},z_{n})\to(x_{0},y_{0},z_{0}) com y_{0}=x_{0}^{2} e z_{0}>1, então \sqrt{y_{n}-x_{n}^{2}}\to 0 e \ln(z_{n}-1)\to \ln(z_{0}-1) finito. Pelo teorema do limite do produto, o produto tende a 0\cdot\ln(z_{0}-1)=0, ou seja tende ao valor f(x_{0},y_{0},z_{0}). Portanto f é contínua também nesses pontos da fronteira onde y=x^{2} (contínuo à esquerda do domínio do sqrt porque sqrt é contínuo em 0).
  • Não há problema semelhante com z=1 porque aí \ln(z-1) não está definido (tende a -\infty quando z\downarrow1), então pontos com z=1 não pertencem ao domínio e não fazem parte do conjunto onde podemos falar de continuidade.

Passo 6

Mostrar que não é possível estender a continuidade além de D:
  • Para z\le 1 a função \ln(z-1) não é definida (ou não é real), logo nenhum ponto com z\le 1 pode pertencer a um conjunto onde f seja contínua como função real.
  • Para y<x^{2} a raiz \sqrt{y-x^{2}} não é real, então também não dá para incluir tais pontos.
    Portanto não há conjunto maior que contenha D em que f esteja definida e contínua como função real de (x,y,z). Assim D é o maior conjunto de continuidade.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y-x^{2}\ge 0,\\ z-1>0\}

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