Calcule, caso exista \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}, onde f(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2},
onde está dada a função f por f(x)=\sqrt{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x}.
  • O ponto onde se aproxima é x=2.
  • O valor de f no ponto é f(2)=\sqrt{2}.
A pergunta é: o limite acima existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

O que é essa expressão? Essa expressão é o quociente de diferença (difference quotient) em torno do ponto x=2:
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Intuitivamente, é a inclinação média da reta que liga os pontos (2,f(2)) e (x,f(x)) do gráfico de f. Se o limite quando x\to2 existir, esse limite é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=2 — o que em cálculo da função se chama derivada de f em 2. Aqui:
  • x é a variável independente que se aproxima de 2.
  • f(x) é o valor da função em x.
  • f(2) é o valor da função no ponto fixo 2.
Nosso trabalho é calcular esse limite para f(x)=\sqrt{x}.

Passo 3

Substituímos f(x)=\sqrt{x} e f(2)=\sqrt{2} na expressão do limite:
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}.
Essa forma tem uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} quando x\to2, porque \sqrt{x}-\sqrt{2}\to0 e x-2\to0. Para resolver uma indeterminação deste tipo, um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador, que neste caso é \sqrt{x}+\sqrt{2}. A conjugada serve para transformar a diferença de raízes em uma diferença de quadrados, que simplifica.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{2}:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} =\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}.
No numerador aplicamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{x} e b=\sqrt{2}. Assim
(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{2})^2 = x-2.
Portanto a fração simplifica:
\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}},
desde que x\neq2 (mas isso é suficiente, pois o limite considera x próximos de 2, não necessariamente igual a 2).

Passo 5

Assim conseguimos reescrever o limite original como
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} =\lim_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}.
Agora usamos que a função g(x)=\sqrt{x} é contínua em x=2 (a raiz quadrada é contínua para x>0). Para funções contínuas, o limite da soma ou soma no denominador pode ser obtido substituindo o ponto. Logo podemos aplicar a substituição direta:
\lim_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Passo 6

Interpretação final e pequena observação pedagógica: o limite existe e vale \dfrac{1}{2\sqrt{2}}. Isso coincide com a regra de derivação padrão da raiz quadrada: para f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} tem-se f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Avaliando em x=2 obtém-se f'(2)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}. Um exemplo extra rápido para ver como isso funciona em outro ponto: em x=9 a derivada seria f'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{6}.
Força aí — você conseguiu ver passo a passo como manipular a indeterminação e interpretar esse limite como derivada.

Resposta

\dfrac{1}{2\sqrt{2}}

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