Calcule, caso exista
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
onde está dada a função
por
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde se aproxima é
. - O valor de
no ponto é .
A pergunta é: o limite acima existe? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
O que é essa expressão? Essa expressão é o quociente de diferença (difference quotient) em torno do ponto
:
Intuitivamente, é a inclinação média da reta que liga os pontos
e
do gráfico de
. Se o limite quando
existir, esse limite é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
— o que em cálculo da função se chama derivada de
em
. Aqui:
-
é a variável independente que se aproxima de . -
é o valor da função em . -
é o valor da função no ponto fixo .
Nosso trabalho é calcular esse limite para
.
Passo 3
Substituímos
e
na expressão do limite:
Essa forma tem uma indeterminação do tipo
quando
, porque
e
. Para resolver uma indeterminação deste tipo, um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador, que neste caso é
. A conjugada serve para transformar a diferença de raízes em uma diferença de quadrados, que simplifica.
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador por
:
No numerador aplicamos a identidade
com
e
. Assim
Portanto a fração simplifica:
desde que
(mas isso é suficiente, pois o limite considera
próximos de
, não necessariamente igual a
).
Passo 5
Assim conseguimos reescrever o limite original como
Agora usamos que a função
é contínua em
(a raiz quadrada é contínua para
). Para funções contínuas, o limite da soma ou soma no denominador pode ser obtido substituindo o ponto. Logo podemos aplicar a substituição direta:
Passo 6
Interpretação final e pequena observação pedagógica: o limite existe e vale
. Isso coincide com a regra de derivação padrão da raiz quadrada: para
tem-se
. Avaliando em
obtém-se
. Um exemplo extra rápido para ver como isso funciona em outro ponto: em
a derivada seria
.
Força aí — você conseguiu ver passo a passo como manipular a indeterminação e interpretar esse limite como derivada.