Calcule as derivadas das funções abaixo:
g(t)=\sqrt[4]{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g dada por
g(t)=\sqrt[4]{t}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função é a raiz quarta de t.
  • O domínio natural da função (para valores reais) é t\ge 0.
    A partir daqui vamos transformar a expressão e calcular a derivada passo a passo.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a raiz em forma de potência, que é muito mais prática para derivar. A raiz quarta corresponde ao expoente 1/4, então:
g(t)=\sqrt[4]{t}=t^{1/4}.
Explicando por que isso é verdade: \sqrt[4]{t} é o número que elevado a 4 t; se chamarmos esse número de t^{1/4}, então (t^{1/4})^4=t, que é a definição de raiz quarta.

Passo 3

Agora a regra que vamos usar (e que vou justificar de forma simples para o caso de expoente racional): se y=t^{p/q} com p/q racional e t>0, podemos usar diferenciação implícita. No nosso caso p/q=1/4. Seja
y=t^{1/4}.
Elevando ambos os lados à quarta potência obtemos
y^4=t.
Derivando ambos os lados em relação a t (regra da derivada de uma composição e regra do produto implícito), temos
4y^3 \frac{dy}{dt}=1.
Aqui usei que a derivada de y^4 em relação a t é 4y^3\cdot dy/dt (pela regra da cadeia, porque y depende de t). Isso é uma aplicação do princípio da diferenciação implícita.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dt} na equação acima:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{4y^3}.
Lembrando que y=t^{1/4}, substituímos de volta:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{4\bigl(t^{1/4}\bigr)^3}=\frac{1}{4t^{3/4}}.
Também podemos escrever a mesma expressão de outras formas equivalentes, úteis em provas ou cálculos:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{4}t^{-3/4}=\frac{1}{4\,t^{3/4}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{t^{3}}}.

Passo 5

Comentário sobre domínio da derivada: a função original está definida para t\ge 0. Porém a expressão \dfrac{1}{4t^{3/4}} exige t>0 (porque envolve t no denominador). No ponto t=0 a derivada não existe (tende a +\infty quando se aproxima por valores positivos). Para t<0 a função original não é real, então não consideramos esses t.

Passo 6

Pequena verificação numérica para ganhar confiança: por exemplo, em t=16 temos \sqrt[4]{16}=2 e
g'(16)=\frac{1}{4\cdot 16^{3/4}}.
Como 16^{1/4}=2, então 16^{3/4}=2^3=8, logo
g'(16)=\frac{1}{4\cdot 8}=\frac{1}{32},
o que faz sentido: perto de 16 a função cresce devagar (derivada pequena).

Resposta

\displaystyle g'(t)=\frac{1}{4}t^{-3/4}=\frac{1}{4t^{3/4}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{t^{3}}} (para t>0; em t=0 a derivada não existe).

Exercícios relacionados