Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
Informações importantes que o enunciado dá:
- A função é a raiz quarta de
. - O domínio natural da função (para valores reais) é
.
A partir daqui vamos transformar a expressão e calcular a derivada passo a passo.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a raiz em forma de potência, que é muito mais prática para derivar. A raiz quarta corresponde ao expoente
, então:
Explicando por que isso é verdade:
é o número que elevado a
dá
; se chamarmos esse número de
, então
, que é a definição de raiz quarta.
Passo 3
Agora a regra que vamos usar (e que vou justificar de forma simples para o caso de expoente racional): se
com
racional e
, podemos usar diferenciação implícita. No nosso caso
. Seja
Elevando ambos os lados à quarta potência obtemos
Derivando ambos os lados em relação a
(regra da derivada de uma composição e regra do produto implícito), temos
Aqui usei que a derivada de
em relação a
é
(pela regra da cadeia, porque
depende de
). Isso é uma aplicação do princípio da diferenciação implícita.
Passo 4
Isolando
na equação acima:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Também podemos escrever a mesma expressão de outras formas equivalentes, úteis em provas ou cálculos:
Passo 5
Comentário sobre domínio da derivada: a função original está definida para
. Porém a expressão
exige
(porque envolve
no denominador). No ponto
a derivada não existe (tende a
quando se aproxima por valores positivos). Para
a função original não é real, então não consideramos esses
.
Passo 6
Pequena verificação numérica para ganhar confiança: por exemplo, em
temos
e
Como
, então
, logo
o que faz sentido: perto de
a função cresce devagar (derivada pequena).