Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o maior conjunto em que f é contínua. Vamos usar que uma razão de funções polinomiais é contínua onde o denominador é não nulo, e depois verificar o ponto (0,0) separadamente.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0, logo
f(x,y)=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
é uma razão de funções polinomiais cujo denominador não se anula. Portanto f é contínua em \{(x,y)\mid(x,y)\neq(0,0)\}.

Passo 3

Falta checar continuidade em (0,0). Precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Note que, para (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| =|x|\;\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \le|x|\cdot1 =|x|.
Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|=0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
ou seja, f é contínua também em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

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