Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o maior conjunto em que f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Precisamos verificar dois casos: num ponto genérico (x,y)\neq(0,0) e no ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^{2}+y^{2} é diferente de zero, então f(x,y) é razão de polinômios sem precisar dividir por zero. Pelo fato de polinômios serem funções contínuas e da razão de funções contínuas ser contínua onde o denominador não se anula, concluímos que
f\text{ é contínua em todo ponto com }(x,y)\neq(0,0).éí

Passo 3

No ponto (0,0) temos f(0,0)=0. Para testar a continuidade precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Se aproximarmos por retas y=mx com m fixo, então
f(x,mx) =\frac{2x\,(mx)}{x^{2}+(mx)^{2}} =\frac{2m\,x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{2m}{1+m^{2}},
que depende de m. Por exemplo, se m=0 esse limite vale 0, mas se m=1 vale 1. Como o limite depende do caminho, ele não existe, logo não pode ser igual a f(0,0)=0. Portanto f não é contínua em (0,0).

Resposta

O maior conjunto de continuidade de f é
\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

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