Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. f(x, y)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.
e pede o maior conjunto em que f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Precisamos verificar dois casos: num ponto genérico (x,y)\neq(0,0) e no ponto (0,0).]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^{2}+y^{2} é diferente de zero, então f(x,y) é razão de polinômios sem precisar dividir por zero. Pelo fato de polinômios serem funções contínuas e da razão de funções contínuas ser contínua onde o denominador não se anula, concluímos que
f\text{ é contínua em todo ponto com }(x,y)\neq(0,0).éí
Passo 3
No ponto (0,0) temos f(0,0)=0. Para testar a continuidade precisamos ver se
que depende de m. Por exemplo, se m=0 esse limite vale 0, mas se m=1 vale 1. Como o limite depende do caminho, ele não existe, logo não pode ser igual a f(0,0)=0. Portanto f não é contínua em (0,0).