Determine o maior conjunto no qual as seguintes funções são contínuas.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 1,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
O objetivo é encontrar o maior conjunto em que f é contínua. Vamos usar que funções racionais são contínuas no seu domínio e verificar especificamente a continuidade em (0,0).

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0), o denominador x^{2}+y^{2} é diferente de zero, logo
f(x,y)=\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
é uma razão de polinômios sem pontos de quebra. Assim, f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Falta verificar a continuidade em (0,0). Calculamos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos
\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{3r^{2}\cos^{2}\theta\;\bigl(r\sin\theta\bigr)}{r^{2}} =3r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Quando r\to0, esse valor tende a 0 para qualquer \theta. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 4

Como f(0,0)=1\neq0, a função não é contínua em (0,0). Portanto, o maior conjunto onde f é contínua é aquele que exclui apenas a origem.

Resposta

O maior conjunto em que f é contínua é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid (x,y)\neq(0,0)\}\,.

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