Determine o maior conjunto no qual as seguintes funções são contínuas. f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.
O objetivo é encontrar o maior conjunto em que f é contínua. Vamos usar que funções racionais são contínuas no seu domínio e verificar especificamente a continuidade em (0,0).
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0), o denominador x^{2}+y^{2} é diferente de zero, logo
f(x,y)=\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
é uma razão de polinômios sem pontos de quebra. Assim, f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Falta verificar a continuidade em (0,0). Calculamos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos