Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados. f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{y^{2}-2 x}{y^{2}+2 x} & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right., em P(0,0).
e queremos verificar continuidade em P=(0,0). Em outras palavras, precisamos checar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Passo 2
Relembre que para a função ser contínua em (0,0) é necessário e suficiente que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
exista e seja igual a 0. Se encontrarmos duas trajetórias com limites distintos, concluímos que o limite geral não existe.
Passo 3
Considere a trajetória y=0. Para y=0 e x\neq0,
f(x,0)=\frac{0^{2}-2x}{0^{2}+2x}=-1.
Logo,
\lim_{x\to0}f(x,0)=-1.
Passo 4
Considere agora a trajetória x=0. Para x=0 e y\neq0,
f(0,y)=\frac{y^{2}-0}{y^{2}+0}=1.
Logo,
\lim_{y\to0}f(0,y)=1.
Passo 5
Como ao longo de y=0 o limite vale -1 e ao longo de x=0 vale 1, temos trajetórias com limites diferentes. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe e, em particular, não é igual a f(0,0)=0. Logo, f não é contínua em (0,0).