Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x-y^{4}}{x+y^{4}} & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right., em P(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \frac{x - y^{4}}{x + y^{4}}, & (x,y)\neq(0,0),\\\\ 1, & (x,y)=(0,0) \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em P(0,0). O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e vamos usar a definição via limites.

Passo 2

Lembrando a definição, f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=1. Para checar existência do limite, examinamos valores de f(x,y) em duas trajetórias diferentes que se aproximam de (0,0).

Passo 3

Considere a trajetória y=0. Então, para x\neq0,
f(x,0)=\frac{x-0^{4}}{x+0^{4}}=\frac{x}{x}=1.
Logo
\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,0)=1.

Passo 4

Agora considere a trajetória x=y^{4}. Para y\neq0,
f(y^{4},y)=\frac{y^{4}-y^{4}}{y^{4}+y^{4}}=\frac{0}{2y^{4}}=0.
Logo
\lim_{(y^{4},y)\to(0,0)}f(y^{4},y)=0.

Passo 5

Como ao aproximar-nos de (0,0) por y=0 o valor tende a 1 e por x=y^{4} tende a 0, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe (ou, pelo menos, não é igual a 1). Portanto, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em P(0,0).

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