Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção: 1 0 -infty -infty 0
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o maior intervalo onde o problema de valor inicial
l (t-1) y'' - 3 t y' + 4 y = sin t y(-2) = 2 y'(-2) = 1
possui uma única solução que é duas vezes diferenciável. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e analisar onde a solução é garantida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
(t-1) y'' - 3 t y' + 4 y = sin t
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis, já que os coeficientes de $ y’’ $ e $ y’ $ dependem de $ t $.
Passo 3
Para garantir a existência e a unicidade da solução do problema de valor inicial, precisamos que os coeficientes da equação e os termos do lado direito sejam contínuos no intervalo considerado. Além disso, o coeficiente de $ y’’ $, que é $ t - 1 $, não pode ser zero nesse intervalo.
Passo 4
Vamos analisar o coeficiente de $ y’’ $:
y''
Isso significa que $ t = 1 $ é um ponto onde a equação não está definida, ou seja, pode haver uma descontinuidade ou um ponto singular.
Passo 5
Portanto, o maior intervalo onde a equação está bem definida (com coeficientes contínuos e $ t - 1 \neq 0 $) deve excluir o ponto $ t = 1 $. Como os valores iniciais estão em $ t = -2 $, precisamos escolher um intervalo que inclua $ t = -2 $ e não contenha $ t = 1 $.
Passo 6
Analisando as opções fornecidas:
1 < t < infty → Não inclui $ t = -2 $.
t = -2 → Não inclui $ t = -2 $.
0 < t < 3 → Inclui $ t = -2 $ e exclui $ t = 1 $.
t = -2 → Inclui $ t = -2 $ mas não utiliza todo o intervalo até $ t = 1 $.
-infty < t < 1 → Não inclui $ t = -2 $.
Nenhuma das demais alternativas → Se nenhuma das opções acima estivesse correta.
Passo 7
A opção que inclui $ t = -2 $ e exclui $ t = 1 $ é a terceira: t = -2 . Isso garante que o coeficiente $ t - 1 $ não seja zero e que os coeficientes sejam contínuos nesse intervalo.