Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
l (t-1) y^prime prime-3 t y^prime+4 y=sen t y(-2)=2 y^prime(-2)=1
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção:
1
0
-infty
-infty
0
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o maior intervalo onde o problema de valor inicial
l (t-1) y'' - 3 t y' + 4 y = sin t y(-2) = 2 y'(-2) = 1
possui uma única solução que é duas vezes diferenciável. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e analisar onde a solução é garantida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
(t-1) y'' - 3 t y' + 4 y = sin t
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis, já que os coeficientes de $ y’’ $ e $ y’ $ dependem de $ t $.

Passo 3

Para garantir a existência e a unicidade da solução do problema de valor inicial, precisamos que os coeficientes da equação e os termos do lado direito sejam contínuos no intervalo considerado. Além disso, o coeficiente de $ y’’ $, que é $ t - 1 $, não pode ser zero nesse intervalo.

Passo 4

Vamos analisar o coeficiente de $ y’’ $:
y''
Isso significa que $ t = 1 $ é um ponto onde a equação não está definida, ou seja, pode haver uma descontinuidade ou um ponto singular.

Passo 5

Portanto, o maior intervalo onde a equação está bem definida (com coeficientes contínuos e $ t - 1 \neq 0 $) deve excluir o ponto $ t = 1 $. Como os valores iniciais estão em $ t = -2 $, precisamos escolher um intervalo que inclua $ t = -2 $ e não contenha $ t = 1 $.

Passo 6

Analisando as opções fornecidas:
  1. 1 < t < infty → Não inclui $ t = -2 $.
  2. t = -2 → Não inclui $ t = -2 $.
  3. 0 < t < 3 → Inclui $ t = -2 $ e exclui $ t = 1 $.
  4. t = -2 → Inclui $ t = -2 $ mas não utiliza todo o intervalo até $ t = 1 $.
  5. -infty < t < 1 → Não inclui $ t = -2 $.
  6. Nenhuma das demais alternativas → Se nenhuma das opções acima estivesse correta.

Passo 7

A opção que inclui $ t = -2 $ e exclui $ t = 1 $ é a terceira: t = -2 . Isso garante que o coeficiente $ t - 1 $ não seja zero e que os coeficientes sejam contínuos nesse intervalo.

Resposta

A alternativa correta é -infty < t < 1.

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