Calcule o limite:
lim x 1 sen(pi x)x(x-1).
Sugestões:
(i) sen(pi x)=sen(pi(x-1)+pi),
(ii) sen(a+b)=sen(a) cos (b)+sen(b) cos (a),
(iii) lim x c sen(u(x))u(x)=1, se lim x c u(x)=0 e u(x) neq 0, se x neq c.

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular o limite de sin(pi x)x(x-1) quando xto1. O conteúdo principal aqui é limite de função trigonométrica e vamos precisar usar a identidade de soma de ângulos para seno e o limite fundamental limuto0sin(u)u=1.

Passo 2

Usando a sugestão (i) e (ii), escrevemos
sen(pi x)=sen(pi(x-1)+pi)=sen(pi(x-1))cos(pi)+sen(pi)cos(pi(x-1))
Como cos(pi)=-1 e sen(pi)=0, isso vira
sen(pi x)=-sen(pi(x-1))

Passo 3

Substituindo no limite original, temos
limxto1sen(pi x)x(x-1)=limxto1-sen(pi(x-1))x(x-1)
Agora fatoramos pi(x-1) dentro do seno e reorganizamos:
= -limxto1sen(pi(x-1))pi(x-1)cdotpix

Passo 4

Como pi(x-1)to0 quando xto1, pela sugestão (iii) temos sen(pi(x-1))/(pi(x-1))to1. E também xto1 faz pi/xtopi. Logo o limite vale:
-1cdotpi = -pi

Resposta

-pi

Exercícios relacionados