Determine o maior intervalo no qual a solução do problema de valor inicial
l (t^2-3 t) y^prime prime+t y^prime+(t+3) y=0 y(4)=2 y^prime(4)=1
Escolha uma opção:
(0,3)
[0,3]
(0, infty)
(-infty, 0)
Nenhuma das demais alternativas
(3, infty)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com uma equação diferencial:
l (t^2-3 t) y^prime prime+t y^prime+(t+3) y=0 y(4)=2 y^prime(4)=1
O objetivo é encontrar o maior intervalo onde a solução desse problema existe. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais de segunda ordem e condições iniciais, além de saber identificar pontos onde a equação pode não estar bem comportada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a equação diferencial pode ter problemas, ou seja, onde os coeficientes multiplicando as derivadas se anulam ou não são definidos. Olhando para a equação:
(t^2-3 t) y^prime prime + t y^prime + (t+3) y = 0
O coeficiente de $ y’’ $ é $ t^{2} - 3t $. Vamos igualar isso a zero para encontrar os possíveis pontos problemáticos:
y''
Portanto, $ t = 0 $ e $ t = 3 $ são pontos onde a equação pode não ter solução única ou ter algum comportamento especial.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o maior intervalo contínuo que contém o ponto inicial $ t = 4 $ (onde $ y(4) = 2 $ e $ y’(4) = 1 t = 4 ãá t = 0 $ e $ t = 3 $).
Como $ t = 4 $ está a direita de $ t = 3 $, precisamos considerar o intervalo que vai de $ t = 3 $ até $ +\infty $, porque entre $ 3 $ e $ +\infty $ não há mais pontos problemáticos.

Passo 4

Por isso, o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial existe e é única é o intervalo onde a equação não apresenta singularidades ou descontinuidades, ou seja, $ (3, \infty) $.

Resposta

A resposta correta é $ (3, \infty) $.

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