• Os alunos iniciam a primeira rodada com 256 pontos;
  • Faz-se uma pergunta a um aluno. Se acertar, ele ganha a metade dos pontos que tem. Se errar, perde metade dos pontos que tem;
  • Ao final de 8 rodadas, cada aluno subtrai dos pontos que tem os 256 iniciais, para ver se O desempenho de um aluno que, ao final dessas oito rodadas, ficou devendo 13 pontos foi de:
    A) 6 acertos e 2 erros.
    B) 5 acertos e 3 erros
    C) 4 acertos e 4 erros
    D) 3 acertos e 5 erros
    E) 2 acertos e 6 erros.

Passo 1

Primeiro, recapitulando o enunciado: o aluno começa com 256 pontos e, a cada rodada, se acertar ganha metade dos pontos que tem (ou seja, fica com o total multiplicado por tfrac32), e se errar perde metade (multiplica por tfrac12). São 8 rodadas no total e, ao final, subtrai-se os 256 iniciais. Sabemos que ele ficou devendo 13 pontos, ou seja, terminou com 256 - 13 = 243 pontos.

Passo 2

Para modelar isso, suponha que ele teve c acertos e e erros, com c + e = 8. Cada acerto multiplica a pontuação atual por tfrac32 e cada erro por tfrac12. Assim, a pontuação final Pf é:
Pf = 256 cdot (32)^c cdot (12)^e
Como e = 8 - c, podemos juntar os fatores de tfrac12:
Pf = 256 cdot 3^c2^c cdot 12^8-c = 256 cdot 3^c2^8 = 3^c

Passo 3

Portanto o resultado final depende só de c:
Pf = 3^c
Como sabemos que Pf = 243, basta achar c tal que
3^c = 243
e como 243 = 3^5, concluímos que c = 5 e, portanto, e = 8 - 5 = 3.

Resposta

5 acertos e 3 erros

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