Questão 02: Esboce o gráfico das funções abaixo, determine os intervalos de crescimento e decrescimento e estude os sinais das funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função por partes, determinar onde ela cresce ou decresce e estudar onde é positiva, negativa ou zero. O conteúdo envolve análise de funções definidas por pedaços (função por partes), propriedades de reta (coeficiente angular) e sinais de expressões lineares.
Passo 2
A função é dada por três expressões lineares em domínios distintos: para x<1 temos f(x)=x+1; para 1<= x<2 temos f(x)=2x+1; e para x>2 temos f(x)=x+3.
Passo 3
Para esboçar o gráfico, calculamos os valores nos limites de cada trecho e marcamos pontos abertos ou fechados conforme o domínio: 1) em xto1^-, f(1^-)=1+1=2 (círculo aberto em (1,2)); 2) em x=1, f(1)=2cdot1+1=3 (ponto fechado em (1,3)); 3) em xto2^-, f(2^-)=2cdot2+1=5 (círculo aberto em (2,5)); 4) em xto2^+, f(2^+)=2+3=5 (círculo aberto também em (2,5)). Cada trecho é uma reta com o coeficiente angular correspondente e ligamos esses pontos.
Passo 4
Para ver onde cresce ou decresce, lembramos que uma reta f(x)=mx+b cresce se m>0 e decresce se m<0. No primeiro trecho m=1>0, no segundo m=2>0 e no terceiro m=1>0. Logo, a função é crescente em cada um dos intervalos de definição: [1,2), (2,∞) e . Não há intervalos de decréscimo.
Passo 5
Para estudar o sinal, resolvemos f(x)=0 em cada trecho. No trecho 1: x+1=0 dá x=-1, que pertence a 2x+1=0. Nos outros dois trechos as equações x+3=0 e -tfrac12 têm raízes -3 e [1,2), que não caem nos domínios (2,∞) e respectivamente.
Passo 6
Montando o quadro de sinais: para x<1, f(x)<0 quando x<-1, f(x)=0 em x=-1 e f(x)>0 em -1. Nos trechos [1,2) e (2,∞) temos sempre f(x)>0. Em x=2 a função não está definida (furinho em (2,5)).
Resposta
O gráfico fica como três segmentos lineares com salto em 1 e buraco em 2; a função é crescente em todos os seus trechos, ou seja em (-∞,1), [1,2) e (2,∞) e não decresce em nenhum. Quanto ao sinal: f(x)<0 em (-∞,−1), f(x)=0 em x=−1, e f(x)>0 para x∈(−1,1)∪[1,2)∪(2,∞).