determine o maior intervalo na vizinhança de x_{0} onde se tem certeza que - PVI (problema de valor inicial) dado tem solução única.
2 y^{i v}-3 x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y=3 \ln x ; \quad y(2)=-1 ; \quad y^{\prime}(2)=0 ; \quad y^{\prime \prime}(2)=0 ; \quad y^{\prime \prime \prime}(2)=2

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o maior intervalo, na vizinhança de x_{0}, onde temos certeza de que o PVI dado tem solução única.
Informações fornecidas pelo enunciado:
2\,y^{(4)}-3x^{2}y''+4x y = 3\ln x
Condições iniciais dadas em x=2:
y(2)=-1,\qquad y'(2)=0,\qquad y''(2)=0,\qquad y^{(3)}(2)=2.
Observação direta do enunciado: o ponto onde as condições são dadas é x_{0}=2.

Passo 2

Teorema de existência e unicidade para EDO linear de ordem n (versão que vamos usar): se uma equação linear de ordem n pode ser escrita na forma
y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=f(x),
e as funções a_{k}(x) e f(x) são contínuas em um intervalo aberto I que contém x_{0}, então existe uma única solução do PVI definido em todo esse intervalo I. Importante: antes de aplicar o teorema devemos garantir que o coeficiente líder (o que multiplica y^{(n)} antes de colocar na forma padrão) seja diferente de zero na vizinhança de x_{0}, para que possamos dividir por ele e obter a forma padrão acima.

Passo 3

Coloquemos a EDO na forma padrão dividindo por 2 (o coeficiente do termo de maior ordem). Primeiro escrevo a equação original:
2\,y^{(4)}-3x^{2}y''+4x y = 3\ln x.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos a forma padrão:
y^{(4)}-\frac{3}{2}x^{2}y''+2x\,y=\frac{3}{2}\ln x.

Passo 4

Identificação das funções coeficientes e do termo forçante após a divisão:
a_{3}(x)=0,\qquad a_{2}(x)=-\frac{3}{2}x^{2},\qquad a_{1}(x)=0,\qquad a_{0}(x)=2x,
e
f(x)=\frac{3}{2}\ln x.
Agora examinamos continuidade dessas funções na vizinhança de x_{0}=2:
  • As funções a_{2}(x)=-\tfrac{3}{2}x^{2} e a_{0}(x)=2x são polinômios e, portanto, contínuas em todo \mathbb{R}.
  • A função f(x)=\tfrac{3}{2}\ln x é contínua em todo o intervalo (0,\infty) e não está definida para x\leq 0.

Passo 5

Verificação do coeficiente líder: originalmente o coeficiente de y^{(4)} é 2, que é diferente de zero para todo x. Logo podemos dividir por 2 e obter a forma padrão globalmente sem criar singularidade por esse motivo.
Agora, para aplicar o teorema, precisamos de um intervalo aberto I contendo x_{0}=2 onde todas as funções a_{k}(x) e f(x) sejam contínuas. Como f(x)=\tfrac{3}{2}\ln x só é contínua para x>0, qualquer intervalo que garanta continuidade deve estar contido em (0,\infty). Não é possível estender o intervalo para incluir 0 ou valores negativos porque aí \ln x não está definida (portanto perda de continuidade do termo forçante).

Passo 6

Conclusão lógica: o maior intervalo aberto que contém x_{0}=2 e onde todas as funções a_{k}(x) e f(x) são contínuas é o intervalo (0,\infty). Pelo teorema de existência e unicidade para EDOs lineares, o PVI tem solução única em todo esse intervalo. (Em termos práticos: qualquer intervalo aberto que contenha 2 e esteja dentro de (0,\infty) serve, e o maior possível é exatamente (0,\infty).)

Resposta

(0,\infty)

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