determine o maior intervalo na vizinhança de
onde se tem certeza que - PVI (problema de valor inicial) dado tem solução única.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o maior intervalo, na vizinhança de
, onde temos certeza de que o PVI dado tem solução única.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Informações fornecidas pelo enunciado:
Condições iniciais dadas em
:
Observação direta do enunciado: o ponto onde as condições são dadas é
.
Passo 2
Teorema de existência e unicidade para EDO linear de ordem
(versão que vamos usar): se uma equação linear de ordem
pode ser escrita na forma
e as funções
e
são contínuas em um intervalo aberto
que contém
, então existe uma única solução do PVI definido em todo esse intervalo
. Importante: antes de aplicar o teorema devemos garantir que o coeficiente líder (o que multiplica
antes de colocar na forma padrão) seja diferente de zero na vizinhança de
, para que possamos dividir por ele e obter a forma padrão acima.
Passo 3
Coloquemos a EDO na forma padrão dividindo por
(o coeficiente do termo de maior ordem). Primeiro escrevo a equação original:
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma padrão:
Passo 4
Identificação das funções coeficientes e do termo forçante após a divisão:
e
Agora examinamos continuidade dessas funções na vizinhança de
:
- As funções
e são polinômios e, portanto, contínuas em todo . - A função
é contínua em todo o intervalo e não está definida para .
Passo 5
Verificação do coeficiente líder: originalmente o coeficiente de
é
, que é diferente de zero para todo
. Logo podemos dividir por
e obter a forma padrão globalmente sem criar singularidade por esse motivo.
Agora, para aplicar o teorema, precisamos de um intervalo aberto
contendo
onde todas as funções
e
sejam contínuas. Como
só é contínua para
, qualquer intervalo que garanta continuidade deve estar contido em
. Não é possível estender o intervalo para incluir
ou valores negativos porque aí
não está definida (portanto perda de continuidade do termo forçante).
Passo 6
Conclusão lógica: o maior intervalo aberto que contém
e onde todas as funções
e
são contínuas é o intervalo
. Pelo teorema de existência e unicidade para EDOs lineares, o PVI tem solução única em todo esse intervalo. (Em termos práticos: qualquer intervalo aberto que contenha 2 e esteja dentro de
serve, e o maior possível é exatamente
.)