Nos exercícios 19 a 21 use o método desenvolvido acima, para determinar a solução geral das equações.
(y^{\prime}=\frac{y}{x-y-1})
(y^{\prime}=\frac{y}{x-y-1})
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial dada.
A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos uma equação de primeira ordem envolvendo
e . - A derivada é
. - Não há condições iniciais; queremos a solução geral (com constante de integração).
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma diferencial
, que é útil para procurar uma solução implícita. Começo isolando os termos:
Multiplicando ambos os lados por
e por
, obtemos
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Assim identificamos
onde a forma é
.
Passo 3
Verificamos se a equação é exata (isto ajuda a integrar facilmente). A condição de exatidão é
. Calculamos:
Como
, a equação não é exata. Então precisamos tentar um fator integrante (integrating factor).
Passo 4
Explico como procurar um fator integrante que dependa só de
. Se existir
tal que
seja exata, então deve valer
Trabalhando essa igualdade e lembrando que
(ou seja,
), chega-se à condição
Isto é uma equação separável para
. Agora calculamos o lado direito usando nossos
e
:
Isso depende somente de
, então existe um fator integrante
. Integramos:
Podemos escolher a constante multiplicativa como
, então
(Explicação rápida: constantes multiplicativas podem ser absorvidas na constante final da solução, por isso escolhemos a forma simples.)
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Lembremos que a equação na forma
tem
e
. Então
Verificamos a exatidão agora:
Como as derivadas coincidem, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos a primeira relação em
:
onde
é uma função de
a determinar. Agora derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
,
Cancelando
dos dois lados, obtemos
Integramos
em
:
Passo 7
Substituímos
em
:
Podemos rearranjar um pouco para ficar mais compacto. Colocando os termos sobre
juntos:
A condição de solução implícita é
. Chamando a constante final de
, a solução geral implícita é
Passo 8
Se preferir, podemos isolar
em função de
(às vezes útil): da relação anterior,
logo
Nota: não é possível, em geral, escrever
explicitamente como uma função elementar de
por causa do termo com
; por isso a forma implícita é a forma natural da solução geral.