Nos exercícios 19 a 21 use o método desenvolvido acima, para determinar a solução geral das equações.
(y^{\prime}=\frac{y}{x-y-1})

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial dada.
A equação fornecida é y'=\frac{y}{x-y-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos uma equação de primeira ordem envolvendo x e y.
  • A derivada é \;y'=\dfrac{dy}{dx}\;=\dfrac{y}{x-y-1}.
  • Não há condições iniciais; queremos a solução geral (com constante de integração).

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, que é útil para procurar uma solução implícita. Começo isolando os termos:
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-y-1}
Multiplicando ambos os lados por dx e por x-y-1, obtemos
(x-y-1)\,dy = y\,dx.
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
(x-y-1)\,dy - y\,dx = 0.
Assim identificamos
M(x,y) = -y,\qquad N(x,y) = x - y - 1,
onde a forma é M\,dx + N\,dy = 0.

Passo 3

Verificamos se a equação é exata (isto ajuda a integrar facilmente). A condição de exatidão é \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Calculamos:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (x-y-1)}{\partial x} = 1.
Como -1 \neq 1, a equação não é exata. Então precisamos tentar um fator integrante (integrating factor).

Passo 4

Explico como procurar um fator integrante que dependa só de y. Se existir \mu(y) tal que \mu M\,dx + \mu N\,dy seja exata, então deve valer
\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}.
Trabalhando essa igualdade e lembrando que \mu=\mu(y) (ou seja, \partial\mu/\partial x=0), chega-se à condição
\frac{d\mu/dy}{\mu} = \frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}.
Isto é uma equação separável para \mu(y). Agora calculamos o lado direito usando nossos M e N:
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} = \frac{1 - (-1)}{-y} = \frac{2}{-y} = -\frac{2}{y}.
Isso depende somente de y, então existe um fator integrante \mu(y). Integramos:
\frac{d\mu}{\mu} = -\frac{2}{y}\,dy \quad\Rightarrow\quad \ln|\mu| = -2\ln|y| + C.
Podemos escolher a constante multiplicativa como 1, então
\mu(y) = y^{-2}.
(Explicação rápida: constantes multiplicativas podem ser absorvidas na constante final da solução, por isso escolhemos a forma simples.)

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^{-2}. Lembremos que a equação na forma M\,dx+N\,dy=0 tem M=-y e N=x-y-1. Então
\tilde M = \mu M = y^{-2}(-y) = -y^{-1},
\tilde N = \mu N = y^{-2}(x-y-1)= x y^{-2} - y^{-1} - y^{-2}.
Verificamos a exatidão agora:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = \frac{\partial(-y^{-1})}{\partial y} = y^{-2}, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} = \frac{\partial(x y^{-2} - y^{-1} - y^{-2})}{\partial x} = y^{-2}.
Como as derivadas coincidem, a equação multiplicada por \mu é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \tilde M = -y^{-1}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \tilde N = x y^{-2} - y^{-1} - y^{-2}.
Integramos a primeira relação em x:
\Phi(x,y) = \int -y^{-1}\,dx = -x y^{-1} + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar. Agora derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a \tilde N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial(-x y^{-1})}{\partial y} + h'(y) = x y^{-2} + h'(y).
Igualando a \tilde N,
x y^{-2} + h'(y) = x y^{-2} - y^{-1} - y^{-2}.
Cancelando x y^{-2} dos dois lados, obtemos
h'(y) = -y^{-1} - y^{-2}.
Integramos h'(y) em y:
h(y) = \int \left(-y^{-1} - y^{-2}\right)\,dy = -\ln|y| + y^{-1} + C_1.

Passo 7

Substituímos h(y) em \Phi(x,y):
\Phi(x,y) = -x y^{-1} - \ln|y| + y^{-1} + C_1.
Podemos rearranjar um pouco para ficar mais compacto. Colocando os termos sobre y juntos:
\Phi(x,y) = \frac{1-x}{y} - \ln|y| + C_1.
A condição de solução implícita é \Phi(x,y) = \text{constante}. Chamando a constante final de C, a solução geral implícita é
\frac{1-x}{y} - \ln|y| = C.

Passo 8

Se preferir, podemos isolar x em função de y (às vezes útil): da relação anterior,
\frac{1-x}{y} = C + \ln|y| \quad\Rightarrow\quad 1-x = y(C+\ln|y|),
logo
x = 1 - y\bigl(C+\ln|y|\bigr).
Nota: não é possível, em geral, escrever y explicitamente como uma função elementar de x por causa do termo com \ln|y|; por isso a forma implícita é a forma natural da solução geral.

Resposta

\dfrac{1-x}{y}-\ln|y|=C

Exercícios relacionados