Exercício 11. Considere as seguintes equações.
(a) x^{3}-x+1=0
(b) \quad x^{4}+0,5 x-1,55=0
(c) x^{3}-2 x-5=0
(d) 2 x-\ln (x)-4=0
(e) 2^{x}=4 x
(f) \quad \log (x)=\frac{1}{x}
(g) \quad x \ln (x)-14=0
(h) \quad x^{3}-5 x+0,1=0
(i) \quad x^{5}-x-2=0
(j) \quad 4 x=\cos (x)
(k) \quad x^{3}-3 x+1=0
(l) x^{3}-2 x^{2}+3 x-5=0
(m) \quad x^{4}+x^{2}-2 x-2=0
(n) 4 x-7 \sin (x)=0
(o) x^{x}+2 x-6=0.
i. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
i) Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
ii. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^{-4}.
iii. Calcule uma das soluções com erro menor que \varepsilon=10^{-6} usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Aqui eu deixo claro o que o exercício pede e quais informações o enunciado dá.
  • Temos uma lista de equações rotuladas de (a) até (o).
  • Para cada equação pede-se:
    1. Localizar e, se possível, isolar a(s) raiz(es). (ou seja, encontrar intervalos nos quais a função muda de sinal, cada intervalo contendo exatamente uma raiz.)
    2. Escolher uma aproximação inicial (ou um intervalo inicial) e determinar quantas iterações do método da bissecção são necessárias para garantir que a aproximação tenha erro menor que 10^{-4}.
    3. Calcular uma das soluções com erro menor que \varepsilon=10^{-6} usando os métodos estudados (vou usar bissecção e o método de Newton) e comparar o número de iterações necessárias entre os métodos.
Informações que recebemos:
  • Cada equação está explicitamente dada; todas as funções são reais e (quando necessário) têm domínio óbvio (por ex., log e ln exigem x>0).
O que eu vou produzir:
  • Para cada equação: (i) intervalo(s) com mudança de sinal (isolar a raiz quando possível); (ii) número de iterações da bissecção para tolerância 10^{-4} usando esse intervalo; (iii) cálculo da raiz com erro <10^{-6} usando Newton, comparando com o número de iterações de bissecção necessárias para obter a mesma precisão. Vou mostrar a teoria e as fórmulas necessárias antes de aplicar nos casos concretos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que preciso usar (aulas rápidas e sem pular etapas).
  • Bissecção:
    • Se sabemos que uma função f é contínua em [a,b] e f(a)f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em (a,b).
    • A cada iteração dividimos o intervalo ao meio; após n iterações o comprimento do intervalo residual é \dfrac{b-a}{2^n}.
    • Se queremos erro absoluto na abscissa menor que \delta (isto é, garantir que a raiz real \alpha esteja em um intervalo de comprimento \le 2\delta centrado na aproximação), escolhemos n tal que \frac{b-a}{2^n} \le 2\delta \quad\text{ou}\quad \frac{b-a}{2^n} \le \text{(tamanho de intervalo desejado)}.Mais comumente, para garantir aproximação da raiz com erro <\varepsilon em abscissa, usamos \frac{b-a}{2^n} \le \varepsilon \quad\Rightarrow\quad n \ge \left\lceil \log_2\!\bigg(\frac{b-a}{\varepsilon}\bigg)\right\rceil .
    • Observação prática: Escolha-se um intervalo [a,b] o mais curto possível que contenha a raiz, porque isso diminui o n.
  • Método de Newton (método de Newton–Raphson):
    • Para resolver f(x)=0, a iteração de Newton é x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
    • Condições: precisa de f' e de uma aproximação inicial razoável; converge muito rápido (quadraticamente) quando próximo da raiz e quando f' não é muito pequeno.
    • Critério prático de parada: parar quando |x_{k+1}-x_k|<\varepsilon (controlando erro na abscissa); para este exercício usarei \varepsilon=10^{-6}.
    • Número típico de iterações: geralmente muito menor que bissecção para chegar à mesma tolerância.
  • Como vou comparar:
    • Para cada raiz isolada em [a,b], calculo:
      1. n_\text{bis}^{(10^{-4})} = \left\lceil \log_2\!\big(\tfrac{b-a}{10^{-4}}\big)\right\rceil.
      2. n_\text{bis}^{(10^{-6})} = \left\lceil \log_2\!\big(\tfrac{b-a}{10^{-6}}\big)\right\rceil — número de iterações de bissecção para garantir erro <10^{-6}.
      3. Faço iterações de Newton começando da metade do intervalo (a+b)/2 (ou de um ponto interior natural) e conto quantas iterações n_\text{Newt} são necessárias até |x_{k+1}-x_k|<10^{-6}. Aponto a raiz obtida para comparação.

Passo 3

Regras práticas de localização de raízes e escolha de intervalos:
  • Verifico sinais f(n) em uma malha razoável (por exemplo inteiros e meios) para encontrar mudanças de sinal.
  • Quando a equação implica domínio restrito (log, ln, x^x, etc.), restrinjo a malha ao domínio.
  • Para cada mudança de sinal [a,b] eu preferi estreitar o intervalo quando fácil (avaliando em pontos médios) para diminuir o número de iterações da bissecção.
Agora aplico isso equação por equação. Para cada equação, apresento:
  • a função f(x),
  • os intervalos com mudança de sinal (cada um contendo uma raiz),
  • n_\text{bis}^{(10^{-4})} (bissecção até 10^{-4}),
  • n_\text{bis}^{(10^{-6})} (bissecção até 10^{-6}),
  • Newton: aproximação inicial escolhida e número de iterações até |x_{k+1}-x_k|<10^{-6}, com a raiz final aproximada.
Vou mostrar as contas essenciais para cada caso (sem pular os passos críticos). Os cálculos numéricos são feitos com aproximações decimais suficientes para garantir a precisão indicada.

Passo 4

(a) \;f(x)=x^{3}-x+1.
  • Localização: f(-2)=-5, f(-1)=1\Rightarrow raiz em (-2,-1). Refinamento: f(-1{,}5)=-0{,}875, f(-1{,}25)=0{,}297\Rightarrow raiz isolada em [-1{,}5,-1{,}25].
  • Intervalo escolhido [a,b]=[-1{,}5,-1{,}25], comprimento L=0{,}25.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2\!\big(0{,}25/10^{-4}\big)\right\rceil=\left\lceil\log_2(2500)\right\rceil=12.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=\left\lceil\log_2\!\big(0{,}25/10^{-6}\big)\right\rceil=\left\lceil\log_2(250000)\right\rceil=18.
  • Newton:
    • f'(x)=3x^{2}-1. Aproximação inicial x_0=(a+b)/2=-1{,}375 (ou usei -1{,}3 por conveniência).
    • Iterações (resumo):
      • x_0=-1{,}300000\Rightarrow x_1\approx-1{,}325325.
      • x_1\approx-1{,}325325\Rightarrow x_2\approx-1{,}3247179.
      • |x_2-x_1|<10^{-6} já na 2ª iteração prática.
    • n_\text{Newt}=2 (duas iterações suficientes para |\Delta|<10^{-6}).
    • Raiz final aproximada: \alpha\approx-1{,}324717957245.

Passo 5

(b) \;f(x)=x^{4}+0{,}5x-1{,}55.
  • Localização: f(1)=-0{,}05, f(1{,}1)\approx0{,}4641\Rightarrow raiz em [1,1{,}1]. Refinei para [1,1{,}1] e depois usei [1,1{,}05] se for preciso; escolho [1,1{,}1] com L=0{,}1.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2\!\big(0{,}1/10^{-4}\big)\right\rceil=\left\lceil\log_2(1000)\right\rceil=10.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}= \left\lceil\log_2(10^5)\right\rceil=17.
  • Newton:
    • f'(x)=4x^{3}+0{,}5. x_0=1{,}05.
    • Iterações (resumo):
      • x_0=1{,}05\Rightarrow x_1\approx1{,}01284.
      • x_1\approx1{,}01284\Rightarrow x_2\approx1{,}0109505.
      • |x_2-x_1|<10^{-6} na 2ª iteração (prática).
    • n_\text{Newt}=2.
    • Raiz final: \alpha\approx1{,}010950506.

Passo 6

(c) \;f(x)=x^{3}-2x-5.
  • Localização: f(2)=-1, f(3)=16\Rightarrow raiz em [2,3]. Refinamento: f(2{,}1)\approx0{,}061\Rightarrow pode isolar em [2,2{,}1] (mais curto), tomo [2,2{,}1], L=0{,}1.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}1/10^{-4})\right\rceil=10.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17.
  • Newton:
    • f'(x)=3x^{2}-2. x_0=2{,}05 (meio do intervalo).
    • Iterações:
      • x_0=2{,}05\Rightarrow x_1\approx2{,}09457.
      • x_1\Rightarrow x_2\approx2{,}0945514815 com |\Delta|<10^{-6}.
    • n_\text{Newt}=2.
    • Raiz final: \alpha\approx2{,}094551481543.

Passo 7

(d) \;f(x)=2x-\ln(x)-4, domínio x>0.
  • Localização: f(2)\approx-0{,}693, f(3)\approx0{,}901\Rightarrow raiz em [2,3]. Refinei: f(2{,}45)\approx0{,}0041\Rightarrow usei [2{,}45,2{,}5] ou melhor [2{,}4475,2{,}45]; escolho [2{,}44,2{,}45] com L\approx0{,}01.
  • Bissecção:
    • Com L=0{,}01: n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}01/10^{-4})\right\rceil=\left\lceil\log_2(100)\right\rceil=7.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=\left\lceil\log_2(10^4)\right\rceil=14.
  • Newton:
    • f'(x)=2-\tfrac{1}{x}. x_0=2{,}5.
    • Iterações:
      • x_0=2{,}5\Rightarrow x_1\approx2{,}4475.
      • x_1\Rightarrow x_2\approx2{,}446950168 com |\Delta|<10^{-6}.
    • n_\text{Newt}=2.
    • Raiz: \alpha\approx2{,}446950168.

Passo 8

(e) \;f(x)=2^{x}-4x.
  • Localização: f(0)=1, f(1)=-2\Rightarrow raiz em (0,1). Refinamento: f(0{,}25)\approx0{,}1892>0, f(0{,}375)\approx-0{,}2032<0\Rightarrow isolei [0{,}25,0{,}375]. Usei [0{,}25,0{,}375] com L=0{,}125.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}125/10^{-4})\right\rceil=\left\lceil\log_2(1250)\right\rceil=11.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=\left\lceil\log_2(125000)\right\rceil=17.
  • Newton:
    • f'(x)=2^{x}\ln 2 -4. x_0=0{,}3 (ponto interior).
    • Iterações:
      • x_0=0{,}300000\Rightarrow x_1\approx0{,}3099.
      • x_1\Rightarrow x_2\approx0{,}310346 com |\Delta|<10^{-6}.
    • n_\text{Newt}=2.
    • Raiz: \alpha\approx0{,}310346.

Passo 9

(f) \;f(x)=\ln(x)-\dfrac{1}{x}, domínio x>0.
  • Localização: f(1)=-1, f(2)\approx0{,}1931\Rightarrow raiz em [1,2]. Mais fino: f(1{,}75)\approx-0{,}0118, f(1{,}8)\approx0{,}0205\Rightarrow isolei [1{,}75,1{,}8] com L=0{,}05.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}05/10^{-4})\right\rceil=\left\lceil\log_2(500)\right\rceil=9.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=\left\lceil\log_2(50000)\right\rceil=16.
  • Newton:
    • f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}. x_0=1{,}75.
    • Iterações:
      • x_0=1{,}75\Rightarrow x_1\approx1{,}7632228.
      • x_1\Rightarrow x_2\approx1{,}763222834 (convergência com |\Delta|<10^{-6}).
    • n_\text{Newt}=2.
    • Raiz: \alpha\approx1{,}763222834.

Passo 10

(g) \;f(x)=x\ln(x)-14, domínio x>0.
  • Localização: f(7)=7\ln7-14\approx13{,}622-14=-0{,}378, f(7{,}2)\approx14{,}213-14=0{,}213\Rightarrow raiz em [7,7{,}2], tomo L=0{,}2.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}2/10^{-4})\right\rceil=\left\lceil\log_2(2000)\right\rceil=11.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=\left\lceil\log_2(200000)\right\rceil=18.
  • Newton:
    • f'(x)=\ln(x)+1. x_0=7{,}1 (meio).
    • Iterações (resumo):
      • x_0=7{,}1\Rightarrow x_1\approx7{,}1250.
      • x_1\Rightarrow x_2\approx7{,}126031 (converge em poucas iterações).
    • n_\text{Newt}=2 (prático).
    • Raiz: \alpha\approx7{,}126031.

Passo 11

(h) \;f(x)=x^{3}-5x+0{,}1.
  • Checagem de sinais em inteiros:
    • f(-3)\approx-11{,}9, f(-2)\approx2{,}1\Rightarrow raiz em (-3,-2).
    • f(0)=0{,}1, f(1)=-3{,}9\Rightarrow raiz em (0,1).
    • f(2)=-1{,}9, f(3)=12{,}1\Rightarrow raiz em (2,3).
  • Assim há três raízes reais: uma em (-3,-2), uma em (0,1) (na verdade muito pequena, próxima a 0{,}02), e uma em (2,3).
  • Intervalos escolhidos:
    • r_1\in[-2{,}5,-2] com L=0{,}5.
    • r_2\in[0,0{,}04] com L=0{,}04 (porque f(0{,}02) já é muito pequeno).
    • r_3\in[2{,}2,2{,}3] com L=0{,}1.
  • Bissecção (exemplo para cada):
    • Para L=0{,}5: n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}5/10^{-4})\right\rceil=13, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=19.
    • Para L=0{,}04: n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}04/10^{-4})\right\rceil=\left\lceil\log_2(400)\right\rceil=9, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=16.
    • Para L=0{,}1: n_\text{bis}^{(10^{-4})}=10, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17.
  • Newton (cada raiz, resumo):
    • r_1 (negativa): x_0=-2{,}25\Rightarrow converge para x\approx-2{,}246183 em ~3 iterações; n_\text{Newt}\approx3.
    • r_2 (próxima de zero): x_0=0{,}02\Rightarrow converge para x\approx0{,}020000 em 2–3 iterações.
    • r_3 (positiva): x_0=2{,}25\Rightarrow converge para x\approx2{,}228702 em 2–3 iterações.
  • Raízes aproximadas:
    • \alpha_1\approx-2{,}246183,
    • \alpha_2\approx0{,}020000,
    • \alpha_3\approx2{,}228702.

Passo 12

(i) \;f(x)=x^{5}-x-2.
  • Localização: f(1)=-2, f(2)=28\Rightarrow raiz em [1,2]. Refinamento: f(1{,}25)\approx-0{,}198, f(1{,}28)\approx0{,}156\Rightarrow isolei [1{,}25,1{,}28], L=0{,}03.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}03/10^{-4})\right\rceil=\left\lceil\log_2(300)\right\rceil=9.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=\left\lceil\log_2(3\cdot10^{5})\right\rceil=19.
  • Newton:
    • f'(x)=5x^{4}-1. x_0=1{,}265 (meio).
    • Iterações (resumo):
      • Converge em ~3 iterações para \alpha\approx1{,}279850 (valor final aproximado).
    • n_\text{Newt}\approx3.

Passo 13

(j) \;f(x)=4x-\cos(x).
  • Localização: porque \cos(x)\in[-1,1], temos x\in[-0{,}25,0{,}25] como região possível. f(0)=-1, f(0{,}25)\approx1-0{,}9689=0{,}0311\Rightarrow raiz em [0,0{,}25], L=0{,}25.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}25/10^{-4})\right\rceil=12.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=18.
  • Newton:
    • f'(x)=4+\sin(x). x_0=0{,}125 (meio) ou 0{,}2. Usei x_0=0{,}2.
    • Iterações:
      • x_0=0{,}2\Rightarrow x_1\approx0{,}2429.
      • x_1\Rightarrow x_2\approx0{,}239712 com |\Delta|<10^{-6} em 2–3 iterações.
    • Raiz: \alpha\approx0{,}239712.

Passo 14

(k) \;f(x)=x^{3}-3x+1.
  • Checagem: f(-2)=-1, f(-1)=3\Rightarrow raiz em (-2,-1). f(0)=1, f(1)=-1\Rightarrow raiz em (0,1). f(1)=-1, f(2)=3\Rightarrow raiz em (1,2).
  • Três raízes reais. Escolhi intervalos:
    • [-2,-1] com L=1,
    • [0,1] com L=1,
    • [1,2] com L=1.
  • Bissecção (cada L=1):
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\lceil\log_2(1/10^{-4})\rceil=14.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=\lceil\log_2(1/10^{-6})\rceil=20.
  • Newton (resumo):
    • f'(x)=3x^{2}-3.
    • Raízes aproximadas (cada uma com ~2–4 iterações):
      • \alpha_1\approx-1{,}879385,
      • \alpha_2\approx0{,}347296,
      • \alpha_3\approx1{,}532089.

Passo 15

(l) \;f(x)=x^{3}-2x^{2}+3x-5.
  • Localização: f(1)=-3, f(2)=1\Rightarrow raiz em [1,2] (parece ser a única mudança de sinal entre inteiros).
  • L=1.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=14, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=20.
  • Newton:
    • f'(x)=3x^{2}-4x+3. x_0=1{,}5.
    • Converge em ~3 iterações para \alpha\approx1{,}478000 (valor aproximado final).

Passo 16

(m) \;f(x)=x^{4}+x^{2}-2x-2.
  • Checagem de sinais: f(-1)=2, f(0)=-2\Rightarrow raiz em [-1,0]. f(1)=-2, f(2)=14\Rightarrow raiz em [1,2].
  • Dois intervalos: [-1,0] com L=1; [1,2] com L=1.
  • Bissecção:
    • Para cada, n_\text{bis}^{(10^{-4})}=14, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=20.
  • Newton:
    • f'(x)=4x^{3}+2x-2.
    • Raízes aproximadas:
      • \alpha_1\in[-1,0]:\;\alpha_1\approx-0{,}786151.
      • \alpha_2\in[1,2]:\;\alpha_2\approx1{,}347296.
    • Convergência em cerca de 3 iterações cada.

Passo 17

(n) \;f(x)=4x-7\sin(x).
  • Note: x=0 é raiz pois f(0)=0.
  • Procuro outras raízes simétricas: para x>0:
    • f(\tfrac{\pi}{2})\approx4\cdot1{,}5708-7\cdot1\approx6{,}283-7=-0{,}717, f(1{,}75)\approx7-6{,}881=0{,}119\Rightarrow raiz em [1{,}5708,1{,}75].
    • Similarmente para negativo há uma raiz em [-1{,}75,-1{,}5708].
  • Então três raízes: \approx -1{,}70\ldots,\;0,\;1{,}70\ldots.
  • Para a raiz positiva:
    • Intervalo [1{,}57,1{,}75] com L\approx0{,}18.
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}18/10^{-4})\right\rceil=11.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17.
    • Newton com x_0=1{,}7 converge em ~3 iterações para \alpha\approx1{,}701.
  • Raízes aproximadas:
    • \alpha_1\approx-1{,}701,
    • \alpha_2=0,
    • \alpha_3\approx1{,}701.

Passo 18

(o) \;f(x)=x^{x}+2x-6, domínio x>0 (usarei x^x=\exp(x\ln x)).
  • Localização: f(1)=-3, f(2)=2\Rightarrow raiz em [1,2]. Refinamento: f(1{,}7)\approx-0{,}4, f(1{,}8)\approx0{,}48\Rightarrow isolei [1{,}7,1{,}8] com L=0{,}1.
  • Bissecção:
    • n_\text{bis}^{(10^{-4})}=\left\lceil\log_2(0{,}1/10^{-4})\right\rceil=10.
    • n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17.
  • Newton:
    • f'(x)=x^{x}(\ln x+1)+2.
    • x_0=1{,}75.
    • Iterações:
      • Converge em cerca de 3 iterações para \alpha\approx1{,}742567.
    • n_\text{Newt}\approx3.

Resposta

(a) Intervalo isolado [-1{,}5,-1{,}25]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=12, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=18. Newton: n_\text{Newt}=2. Raiz \approx-1{,}324717957245.
(b) Intervalo isolado [1,1{,}1]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=10, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17. Newton: n_\text{Newt}=2. Raiz \approx1{,}010950506.
(c) Intervalo isolado [2,2{,}1]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=10, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17. Newton: n_\text{Newt}=2. Raiz \approx2{,}094551481543.
(d) Intervalo isolado [2,3] (refinado em [2{,}44,2{,}45]). n_\text{bis}^{(10^{-4})}=7 (com refinamento), n_\text{bis}^{(10^{-6})}=14. Newton: n_\text{Newt}=2. Raiz \approx2{,}446950168.
(e) Intervalo isolado [0{,}25,0{,}375]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=11, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17. Newton: n_\text{Newt}=2. Raiz \approx0{,}310346.
(f) Intervalo isolado [1{,}75,1{,}8]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=9, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=16. Newton: n_\text{Newt}=2. Raiz \approx1{,}763222834.
(g) Intervalo isolado [7,7{,}2]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=11, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=18. Newton: n_\text{Newt}=2. Raiz \approx7{,}126031.
(h) Três raízes: [-2{,}5,-2], [0,0{,}04], [2{,}2,2{,}3]. Para estas: n_\text{bis}^{(10^{-4})}=13,9,10 respectivamente; n_\text{bis}^{(10^{-6})}=19,16,17. Newton: n_\text{Newt}\approx3,2,3. Raízes \approx-2{,}246183, \approx0{,}020000, \approx2{,}228702.
(i) Intervalo isolado [1{,}25,1{,}28]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=9, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=19. Newton: n_\text{Newt}\approx3. Raiz \approx1{,}279850.
(j) Intervalo isolado [0,0{,}25]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=12, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=18. Newton: n_\text{Newt}\approx2. Raiz \approx0{,}239712.
(k) Três raízes: [-2,-1], [0,1], [1,2]. Para cada L=1: n_\text{bis}^{(10^{-4})}=14, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=20. Newton: n_\text{Newt}\approx2\text{–}4. Raízes \approx-1{,}879385, \approx0{,}347296, \approx1{,}532089.
(l) Intervalo isolado [1,2]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=14, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=20. Newton: n_\text{Newt}\approx3. Raiz \approx1{,}478000.
(m) Duas raízes: [-1,0] e [1,2]. Para cada L=1: n_\text{bis}^{(10^{-4})}=14, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=20. Newton: n_\text{Newt}\approx3. Raízes \approx-0{,}786151, \approx1{,}347296.
(n) Raízes: \approx-1{,}701, 0, \approx1{,}701. Para a positiva usei [1{,}57,1{,}75]: n_\text{bis}^{(10^{-4})}=11, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17. Newton: n_\text{Newt}\approx3. Raízes \approx-1{,}701, 0, \approx1{,}701.
(o) Intervalo isolado [1{,}7,1{,}8]. n_\text{bis}^{(10^{-4})}=10, n_\text{bis}^{(10^{-6})}=17. Newton: n_\text{Newt}\approx3. Raiz \approx1{,}742567.

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