Exercício 11. Considere as seguintes equações.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
.
i. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
i) Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
ii. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
iii. Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
i. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
i) Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
ii. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
iii. Calcule uma das soluções com erro menor que
Passo 1
Aqui eu deixo claro o que o exercício pede e quais informações o enunciado dá.
- Temos uma lista de equações rotuladas de (a) até (o).
- Para cada equação pede-se:
- Localizar e, se possível, isolar a(s) raiz(es). (ou seja, encontrar intervalos nos quais a função muda de sinal, cada intervalo contendo exatamente uma raiz.)
- Escolher uma aproximação inicial (ou um intervalo inicial) e determinar quantas iterações do método da bissecção são necessárias para garantir que a aproximação tenha erro menor que
. - Calcular uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados (vou usar bissecção e o método de Newton) e comparar o número de iterações necessárias entre os métodos.
Informações que recebemos:
- Cada equação está explicitamente dada; todas as funções são reais e (quando necessário) têm domínio óbvio (por ex., log e ln exigem
).
O que eu vou produzir:
- Para cada equação: (i) intervalo(s) com mudança de sinal (isolar a raiz quando possível); (ii) número de iterações da bissecção para tolerância
usando esse intervalo; (iii) cálculo da raiz com erro usando Newton, comparando com o número de iterações de bissecção necessárias para obter a mesma precisão. Vou mostrar a teoria e as fórmulas necessárias antes de aplicar nos casos concretos.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que preciso usar (aulas rápidas e sem pular etapas).
-
Bissecção:
- Se sabemos que uma função
é contínua em e , então existe pelo menos uma raiz em . - A cada iteração dividimos o intervalo ao meio; após
iterações o comprimento do intervalo residual é . - Se queremos erro absoluto na abscissa menor que
(isto é, garantir que a raiz real esteja em um intervalo de comprimento centrado na aproximação), escolhemos tal que Mais comumente, para garantir aproximação da raiz com erro em abscissa, usamos - Observação prática: Escolha-se um intervalo
o mais curto possível que contenha a raiz, porque isso diminui o .
- Se sabemos que uma função
-
Método de Newton (método de Newton–Raphson):
- Para resolver
, a iteração de Newton é - Condições: precisa de
e de uma aproximação inicial razoável; converge muito rápido (quadraticamente) quando próximo da raiz e quando não é muito pequeno. - Critério prático de parada: parar quando
(controlando erro na abscissa); para este exercício usarei . - Número típico de iterações: geralmente muito menor que bissecção para chegar à mesma tolerância.
- Para resolver
-
Como vou comparar:
- Para cada raiz isolada em
, calculo: -
. -
— número de iterações de bissecção para garantir erro . - Faço iterações de Newton começando da metade do intervalo
(ou de um ponto interior natural) e conto quantas iterações são necessárias até . Aponto a raiz obtida para comparação.
-
- Para cada raiz isolada em
Passo 3
Regras práticas de localização de raízes e escolha de intervalos:
- Verifico sinais
em uma malha razoável (por exemplo inteiros e meios) para encontrar mudanças de sinal. - Quando a equação implica domínio restrito (log, ln,
, etc.), restrinjo a malha ao domínio. - Para cada mudança de sinal
eu preferi estreitar o intervalo quando fácil (avaliando em pontos médios) para diminuir o número de iterações da bissecção.
Agora aplico isso equação por equação. Para cada equação, apresento:
- a função
, - os intervalos com mudança de sinal (cada um contendo uma raiz),
-
(bissecção até ), -
(bissecção até ), - Newton: aproximação inicial escolhida e número de iterações até
, com a raiz final aproximada.
Vou mostrar as contas essenciais para cada caso (sem pular os passos críticos). Os cálculos numéricos são feitos com aproximações decimais suficientes para garantir a precisão indicada.
Passo 4
(a)
.
- Localização:
, raiz em . Refinamento: , raiz isolada em . - Intervalo escolhido
, comprimento . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. Aproximação inicial (ou usei por conveniência). - Iterações (resumo):
-
. -
. -
já na 2ª iteração prática.
-
-
(duas iterações suficientes para ). - Raiz final aproximada:
.
-
Passo 5
(b)
.
- Localização:
, raiz em . Refinei para e depois usei se for preciso; escolho com . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. . - Iterações (resumo):
-
. -
. -
na 2ª iteração (prática).
-
-
. - Raiz final:
.
-
Passo 6
(c)
.
- Localização:
, raiz em . Refinamento: pode isolar em (mais curto), tomo , . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. (meio do intervalo). - Iterações:
-
. -
com .
-
-
. - Raiz final:
.
-
Passo 7
(d)
, domínio
.
- Localização:
, raiz em . Refinei: usei ou melhor ; escolho com . - Bissecção:
- Com
: -
- Com
- Newton:
-
. . - Iterações:
-
. -
com .
-
-
. - Raiz:
.
-
Passo 8
(e)
.
- Localização:
, raiz em . Refinamento: , isolei . Usei com . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. (ponto interior). - Iterações:
-
. -
com .
-
-
. - Raiz:
.
-
Passo 9
(f)
, domínio
.
- Localização:
, raiz em . Mais fino: , isolei com . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. . - Iterações:
-
. -
(convergência com ).
-
-
. - Raiz:
.
-
Passo 10
(g)
, domínio
.
- Localização:
, raiz em , tomo . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. (meio). - Iterações (resumo):
-
. -
(converge em poucas iterações).
-
-
(prático). - Raiz:
.
-
Passo 11
(h)
.
- Checagem de sinais em inteiros:
-
, raiz em . -
, raiz em . -
, raiz em .
-
- Assim há três raízes reais: uma em
, uma em (na verdade muito pequena, próxima a ), e uma em . - Intervalos escolhidos:
-
com . -
com (porque já é muito pequeno). -
com .
-
- Bissecção (exemplo para cada):
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
- Para
- Newton (cada raiz, resumo):
-
(negativa): converge para em ~3 iterações; . -
(próxima de zero): converge para em 2–3 iterações. -
(positiva): converge para em 2–3 iterações.
-
- Raízes aproximadas:
-
, -
, -
.
-
Passo 12
(i)
.
- Localização:
, raiz em . Refinamento: , isolei , . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. (meio). - Iterações (resumo):
- Converge em ~3 iterações para
(valor final aproximado).
- Converge em ~3 iterações para
-
-
Passo 13
(j)
.
- Localização: porque
, temos como região possível. , raiz em , . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. (meio) ou 0{,}2. Usei . - Iterações:
-
. -
com em 2–3 iterações.
-
- Raiz:
.
-
Passo 14
(k)
.
- Checagem:
, raiz em . , raiz em . , raiz em . - Três raízes reais. Escolhi intervalos:
-
com , -
com , -
com .
-
- Bissecção (cada
): -
. -
.
-
- Newton (resumo):
-
. - Raízes aproximadas (cada uma com ~2–4 iterações):
-
, -
, -
.
-
-
Passo 15
(l)
.
- Localização:
, raiz em (parece ser a única mudança de sinal entre inteiros). -
. - Bissecção:
-
, .
-
- Newton:
-
. . - Converge em ~3 iterações para
(valor aproximado final).
-
Passo 16
(m)
.
- Checagem de sinais:
, raiz em . , raiz em . - Dois intervalos:
com ; com . - Bissecção:
- Para cada,
, .
- Para cada,
- Newton:
-
. - Raízes aproximadas:
-
. -
.
-
- Convergência em cerca de 3 iterações cada.
-
Passo 17
(n)
.
- Note:
é raiz pois . - Procuro outras raízes simétricas: para
: -
, raiz em . - Similarmente para negativo há uma raiz em
.
-
- Então três raízes:
. - Para a raiz positiva:
- Intervalo
com . -
-
- Newton com
converge em ~3 iterações para .
- Intervalo
- Raízes aproximadas:
-
, -
, -
.
-
Passo 18
(o)
, domínio
(usarei
).
- Localização:
, raiz em . Refinamento: , isolei com . - Bissecção:
-
- Newton:
-
. -
. - Iterações:
- Converge em cerca de 3 iterações para
.
- Converge em cerca de 3 iterações para
-
.
-
Resposta
(a) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(b) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(c) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(d) Intervalo isolado
(refinado em
).
(com refinamento),
. Newton:
. Raiz
.
(e) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(f) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(g) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(h) Três raízes:
,
,
. Para estas:
respectivamente;
. Newton:
. Raízes
,
,
.
(i) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(j) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(k) Três raízes:
,
,
. Para cada
:
,
. Newton:
. Raízes
,
,
.
(l) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.
(m) Duas raízes:
e
. Para cada
:
,
. Newton:
. Raízes
,
.
(n) Raízes:
,
,
. Para a positiva usei
:
,
. Newton:
. Raízes
,
,
.
(o) Intervalo isolado
.
,
. Newton:
. Raiz
.