Determine a maior e a menor distância da origem até a curva de interseção das superfícies x^{2}=2 y z e x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}=30.

Passo 1

O enunciado pede para achar a maior e a menor distância da origem até a curva de interseção das superfícies \;x^{2}=2yz; e \;x^{2}+3y^{2}+2z^{2}=30.
Aqui usamos o método dos multiplicadores de Lagrange para extremizar a função distância ao quadrado
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sujeita às restrições
h_{1}(x,y,z)=x^{2}-2yz=0, \quad h_{2}(x,y,z)=x^{2}+3y^{2}+2z^{2}-30=0.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
\displaystyle \nabla f=(2x,\,2y,\,2z), \quad \nabla h_{1}=(2x,\,-2z,\,-2y), \quad \nabla h_{2}=(2x,\,6y,\,4z).
A condição de Lagrange é
\nabla f = \lambda\,\nabla h_{1}+\mu\,\nabla h_{2},
isto é, o sistema
\begin{cases} 2x = \lambda\,(2x) + \mu\,(2x),\\\\ 2y = \lambda\,(-2z) + \mu\,(6y),\\\\ 2z = \lambda\,(-2y) + \mu\,(4z),\\\ x^{2}-2yz=0,\\\ x^{2}+3y^{2}+2z^{2}=30. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação [2x = 2x(\lambda+\mu)) surgem dois casos:
Caso A: x\neq0.
Então \lambda+\mu=1. Nas duas linhas seguintes temos
\begin{cases} 2y = -2\lambda\,z +6\mu\,y,\\\\ 2z = -2\lambda\,y +4\mu\,z, \end{cases}
que simplificam para
(1-3\mu)\,y = -(1-\mu)\,z, \quad (1-2\mu)\,z = -(1-\mu)\,y.
Igualando as duas razões y/z\] obtém-se \(\mu=0 ou \mu=\tfrac35. Em \mu=0 não há solução real válida, em \mu=\tfrac35 segue \lambda=\tfrac25 e das equações vem
z=2y, \quad x^{2}=2yz=4y^{2}\implies x=\pm2y.
Substituindo em x^{2}+3y^{2}+2z^{2}=30
4y^{2}+3y^{2}+2(4y^{2})=15y^{2}=30 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=2.
Logo
x^{2}=4\cdot2=8,\quad y^{2}=2,\quad z^{2}=4\cdot2=8,
e a distância ao quadrado é
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=8+2+8=18.

Passo 4

Caso B: x=0.
Então da restrição x^{2}=2yz segue yz=0. A outra restrição é 3y^{2}+2z^{2}=30.
  • Se y=0 então 2z^{2}=30\implies z^{2}=15 e
    \;r^{2}=0+0+15=15.
  • Se z=0 então 3y^{2}=30\implies y^{2}=10 e
    \;r^{2}=0+10+0=10.

Passo 5

Comparando as três possibilidades de r^{2}, temos
r^{2}\in\{10,\;15,\;18\}.
A menor fica em r^{2}=10 e a maior em r^{2}=18.

Resposta

Menor distância: \sqrt{10}.
Maior distância: 3\sqrt{2}.

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