Questão 1.(2,0 pontos) Esboce a região de integração e calcule a integral interada
\iint_{D} \frac{x d x d y}{x^{2}+y^{2}}
onde D é um segmento parabólico, limitado para prabóla y=x^{2} e pela reta y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região D limitada por
y = x^2 \quad\text{e}\quad y = 2x
e calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e usaremos antiderivadas envolvendo \arctan.

Passo 2

Para encontrar os limites de D, achamos a interseção das curvas:
x^2 = 2x \;\Longrightarrow\; x(x - 2)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\;\text{ou}\;x=2.
Para cada x\in[0,2], a curva inferior é y=x^2 e a superior é y=2x. Então D é o conjunto
\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;x^2\le y\le2x\}.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada com y interno e x externo, temos
\iint_{D}\frac{x}{x^2+y^2}\,dx\,dy = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=x^2}^{2x}\frac{x}{x^2+y^2}\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y. Observe que
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\bigr] =\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac1x =\frac{x}{x^2+y^2}.
Logo
\int_{y=x^2}^{2x}\frac{x}{x^2+y^2}\,dy =\Bigl[\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\Bigr]_{y=x^2}^{y=2x} =\arctan(2)\;-\;\arctan(x).

Passo 5

A integral torna-se
\int_{0}^{2}\bigl[\arctan(2)-\arctan(x)\bigr]\,dx = \arctan(2)\cdot2 \;-\;\int_{0}^{2}\arctan(x)\,dx.
Para a segunda parte, use
\int\arctan(x)\,dx = x\,\arctan(x)\;-\;\tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr).
Assim
\int_{0}^{2}\arctan(x)\,dx =\Bigl[\,x\,\arctan(x)-\tfrac12\ln(1+x^2)\Bigr]_{0}^{2} =2\,\arctan(2)\;-\;\tfrac12\ln5.

Passo 6

Substituindo de volta:
2\,\arctan(2)\;-\;\bigl(2\,\arctan(2)-\tfrac12\ln5\bigr) =\tfrac12\ln5.

Resposta

\displaystyle \frac12\ln5

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