Determine o valor máximo ou mínimo relativo, para a função
com vínculo (restrição)
.
Passo 1
Estamos com a função de três variáveis
sujeita à restrição da esfera unitária
O conteúdo que vamos usar é o método dos multiplicadores de Lagrange: montamos
e impomos
junto com a restrição.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
além de
Passo 3
Das equações acima temos três casos principais:
-
, daí . -
, que torna trivial .
Em cada caso também analisamos seou , pois em temos fator .
Passo 4
Resolvendo sistematicamente, obtemos estes candidatos:
-
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , .
Passo 5
Agora avaliamos
em cada ponto:
- Em
:
- Em
:
- Em
: - Em
:
- Em
:
Passo 6
Comparando os valores:
Logo o maior valor é
e o menor é
.
Resposta
O valor máximo restrito é
, alcançado em
.
O valor mínimo restrito é , alcançado em
.
O valor mínimo restrito é