Determine o valor máximo ou mínimo relativo, para a função f(x, y)=x z^{2}+y^{3} com vínculo (restrição) x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

Estamos com a função de três variáveis
f(x,y,z)=x\,z^{2}+y^{3}
sujeita à restrição da esfera unitária
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
O conteúdo que vamos usar é o método dos multiplicadores de Lagrange: montamos
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x\,z^{2}+y^{3}-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\bigr)
e impomos \nabla\mathcal{L}=0 junto com a restrição.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\mathcal{L}_x:\;z^{2}-2\lambda x=0, \qquad \mathcal{L}_y:\;3y^{2}-2\lambda y=0, \qquad \mathcal{L}_z:\;2xz-2\lambda z=0,
além de
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 3

Das equações acima temos três casos principais:
  1. y\neq0, daí \lambda=\tfrac{3}{2}y.
  2. y=0, que torna trivial \mathcal{L}_y.
    Em cada caso também analisamos se z=0 ou z\neq0, pois em \mathcal{L}_z temos fator z.

Passo 4

Resolvendo sistematicamente, obtemos estes candidatos:
  1. y=1, x=0, z=0.
  2. y=-1, x=0, z=0.
  3. x=\pm1, y=0, z=0.
  4. x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}, y=0, z=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
  5. x=\pm\tfrac{3}{\sqrt{31}}, y=\pm\tfrac{2}{\sqrt{31}}, z=\pm\tfrac{6}{\sqrt{62}}.

Passo 5

Agora avaliamos f em cada ponto:
  • Em (0,1,0):
f=0\cdot0^{2}+1^{3}=1.
  • Em (0,-1,0):
f=(-1)^{3}=-1.
  • Em (\pm1,0,0): f=0.
  • Em \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},0,\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr):
f=\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr)^{2} =\pm\tfrac{2}{3\sqrt{3}}.
  • Em \bigl(\pm\tfrac{3}{\sqrt{31}},\pm\tfrac{2}{\sqrt{31}},\pm\tfrac{6}{\sqrt{62}}\bigr):
f=\pm\tfrac{2}{\sqrt{31}}.

Passo 6

Comparando os valores:
1 > \tfrac{2}{3\sqrt{3}}\approx0,385 > \tfrac{2}{\sqrt{31}}\approx0,359 > 0 > -\tfrac{2}{\sqrt{31}} > -\tfrac{2}{3\sqrt{3}} > -1.
Logo o maior valor é 1 e o menor é -1.

Resposta

O valor máximo restrito é 1, alcançado em (0,1,0).
O valor mínimo restrito é -1, alcançado em (0,-1,0).

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