Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices
e
, se a função densidade é
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
-
Dados:
- Vértices da lâmina triangular:
, e . - Função densidade superficial:
.
- Vértices da lâmina triangular:
-
Perguntas (o que precisamos encontrar):
- A massa total da lâmina,
. - O centro de massa (ou centróide ponderado pela densidade),
.
- A massa total da lâmina,
-
Observação sobre a região
(que vamos usar nos integrais): - A aresta que liga
a tem equação afim. Calculando a reta: a inclinação é , logo a reta é . - Para cada
entre e , o vai de até . - Assim, a região
pode ser descrita por
- A aresta que liga
Passo 2
Fórmulas que vamos usar — explicadas devagarinho.
-
Massa total: a massa é a integral dupla da densidade sobre a região:Aqui
representa um elemento de área (um pedacinho da lâmina). -
Coordenadas do centro de massa:Explicando: para encontrar
somamos (integrando) toda a contribuição de massa multiplicada pela coordenada e dividimos pela massa total; análogo para . -
Escolha da ordem de integração:
- Como já descrevemos
por e , vamos integrar primeiro em (de até ) e depois em (de até ). Isso costuma simplificar contas em triângulos como este.
- Como já descrevemos
Passo 3
Cálculo da massa
.
-
Escrevemos o integral:
-
Integramos primeiro em
. Para uma função integrada em , usamos antiderivadas básicas: Avaliando entree : -
Simplificamos essa expressão passo a passo:
Somando as duas partes:
- Agora integramos em
:
Passo 4
Cálculo do numerador para
:
.
-
Escrevemos o integral:
-
Integramos em
(mesma ideia que no passo anterior, mas com fator multiplicando): Mas já calculamos dentro do colchete que vale. Logo: -
Integramos em
: -
Portanto, a componente
do numerador é , e assim
Passo 5
Cálculo do numerador para
:
.
-
Escrevemos o integral:
-
Integramos em
. Para usamos antiderivadas: Avaliando emdá: -
Expandimos com calma. Primeiro,Multiplicando por
: Depois,Somando as duas partes:
Logo o integrando em
fica
-
Integramos agora em
: Calculando antiderivadas termo a termo:Colocando tudo com denominador: -
Portanto
, e