Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0),(1,0) e (0,2), se a função densidade é \rho(x, y)=1+3 x+y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Dados:
    • Vértices da lâmina triangular: (0,0), (1,0) e (0,2).
    • Função densidade superficial: \rho(x,y)=1+3x+y.
  • Perguntas (o que precisamos encontrar):
    1. A massa total da lâmina, m.
    2. O centro de massa (ou centróide ponderado pela densidade), \big(\bar{x},\bar{y}\big).
  • Observação sobre a região D (que vamos usar nos integrais):
    • A aresta que liga (1,0) a (0,2) tem equação afim. Calculando a reta: a inclinação é (2-0)/(0-1)=-2, logo a reta é \,y=-2x+2.
    • Para cada x entre 0 e 1, o y vai de 0 até 2-2x.
    • Assim, a região D pode ser descrita por 0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 2-2x.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar — explicadas devagarinho.
  • Massa total: a massa é a integral dupla da densidade sobre a região:
    m=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA.
    Aqui dA representa um elemento de área (um pedacinho da lâmina).
  • Coordenadas do centro de massa:
    \bar{x}=\frac{1}{m}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA, \qquad \bar{y}=\frac{1}{m}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
    Explicando: para encontrar \bar{x} somamos (integrando) toda a contribuição de massa multiplicada pela coordenada x e dividimos pela massa total; análogo para \bar{y}.
  • Escolha da ordem de integração:
    • Como já descrevemos D por 0\le x\le1 e 0\le y\le 2-2x, vamos integrar primeiro em y (de 0 até 2-2x) e depois em x (de 0 até 1). Isso costuma simplificar contas em triângulos como este.

Passo 3

Cálculo da massa m.
  • Escrevemos o integral:
    m=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x}\big(1+3x+y\big)\,dy\,dx.
  • Integramos primeiro em y. Para uma função A+By+y integrada em y, usamos antiderivadas básicas:
    \int (1+3x+y)\,dy = (1+3x)\,y+\frac{y^{2}}{2}.
    Avaliando entre y=0 e y=2-2x:
    (1+3x)(2-2x)+\frac{(2-2x)^{2}}{2}.
  • Simplificamos essa expressão passo a passo:
    (1+3x)(2-2x)=2+4x-6x^{2},
\frac{(2-2x)^{2}}{2}=\frac{4-8x+4x^{2}}{2}=2-4x+2x^{2}.
Somando as duas partes:
2+4x-6x^{2}+2-4x+2x^{2}=4-4x^{2}.
  • Agora integramos em x: m=\int_{0}^{1}\big(4-4x^{2}\big)\,dx =\left[4x-\frac{4}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} =4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 4

Cálculo do numerador para \bar{x}: \displaystyle I_x=\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA.
  • Escrevemos o integral:
    I_x=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x} x\big(1+3x+y\big)\,dy\,dx.
  • Integramos em y (mesma ideia que no passo anterior, mas com fator x multiplicando):
    \int_{0}^{2-2x} x(1+3x+y)\,dy =x\Big[(1+3x)(2-2x)+\frac{(2-2x)^{2}}{2}\Big].
    Mas já calculamos dentro do colchete que vale 4-4x^{2}. Logo:
    \int_{0}^{2-2x} x(1+3x+y)\,dy = x(4-4x^{2}) = 4x-4x^{3}.
  • Integramos em x:
    I_x=\int_{0}^{1}\big(4x-4x^{3}\big)\,dx =\left[2x^{2}-x^{4}\right]_{0}^{1} =2-1=1.
  • Portanto, a componente x do numerador é I_x=1, e assim
    \bar{x}=\frac{I_x}{m}=\frac{1}{\,8/3\,}=\frac{3}{8}.

Passo 5

Cálculo do numerador para \bar{y}: \displaystyle I_y=\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
  • Escrevemos o integral:
    I_y=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x} y\big(1+3x+y\big)\,dy\,dx.
  • Integramos em y. Para \int y(1+3x+y)\,dy usamos antiderivadas:
    \int y(1+3x+y)\,dy = (1+3x)\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{3}.
    Avaliando em y=2-2x dá:
    (1+3x)\frac{(2-2x)^{2}}{2}+\frac{(2-2x)^{3}}{3}.
  • Expandimos com calma. Primeiro,
    \frac{(2-2x)^{2}}{2}=2-4x+2x^{2}.
    Multiplicando por (1+3x):
    (1+3x)\big(2-4x+2x^{2}\big)=2+2x-10x^{2}+6x^{3}.
    Depois,
    \frac{(2-2x)^{3}}{3}=\frac{8-24x+24x^{2}-8x^{3}}{3}=\frac{8}{3}-8x+8x^{2}-\frac{8}{3}x^{3}.
    Somando as duas partes:
    2+\frac{8}{3}= \frac{14}{3},\qquad 2x-8x=-6x,
-10x^{2}+8x^{2}=-2x^{2},\qquad 6x^{3}-\frac{8}{3}x^{3}=\frac{10}{3}x^{3}.
Logo o integrando em x fica
\frac{14}{3}-6x-2x^{2}+\frac{10}{3}x^{3}.
  • Integramos agora em x:
    I_y=\int_{0}^{1}\left(\frac{14}{3}-6x-2x^{2}+\frac{10}{3}x^{3}\right)\,dx.
    Calculando antiderivadas termo a termo:
    \left[\frac{14}{3}x-3x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{5}{6}x^{4}\right]_{0}^{1} =\frac{14}{3}-3-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}.
    Colocando tudo com denominador 6:
    \frac{28}{6}-\frac{18}{6}-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}.
  • Portanto I_y=\dfrac{11}{6}, e
    \bar{y}=\frac{I_y}{m}=\frac{\,11/6\,}{\,8/3\,}=\frac{11}{16}.

Resposta

m=\dfrac{8}{3}\n \big(\bar{x},\bar{y}\big)=\big(\dfrac{3}{8},\dfrac{11}{16}\big)

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