Calcule a seguinte integral definida:
\int_{0}^{1} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \ln(x)\,dx.
Informações importantes que nos são dadas:
  • A função integranda é \ln(x).
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Observação crucial: \ln(x) não está definida em x=0 (ela tende a -\infty quando x\to0^+). Portanto a integral é imprópria e deve ser interpretada como um limite apropriado.

Passo 2

Como a integral é imprópria no extremo 0, definimos-a por limite. Para a com 0<a<1 consideramos a integral truncada e depois fazemos a\to0^+:
\int_{0}^{1}\ln(x)\,dx \;=\; \lim_{a\to0^+}\int_{a}^{1}\ln(x)\,dx.

Passo 3

Vamos calcular a integral \int_{a}^{1}\ln(x)\,dx usando a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (gera du),
  • dv é a parte que integramos (gera v com v' = dv).
A ideia é escolher u e dv de forma a simplificar a integral \int v\,du.

Passo 4

Escolhemos
u=\ln(x),\qquad dv=dx.
Agora calculamos du e v:
du=\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)\,dx=\frac{1}{x}\,dx, \qquad v=\int dv=\int dx = x.
Aplicando a fórmula de integração por partes ao intervalo [a,1]:
\int_{a}^{1}\ln(x)\,dx = \Bigl[ x\ln(x)\Bigr]_{a}^{1} - \int_{a}^{1} x\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Simplificamos a segunda integral e avaliamos os termos:
\int_{a}^{1}\ln(x)\,dx = \bigl(1\cdot\ln(1)\bigr) - \bigl(a\ln(a)\bigr) - \int_{a}^{1}1\,dx.
Como \ln(1)=0 e \int_{a}^{1}1\,dx = 1-a, obtemos
\int_{a}^{1}\ln(x)\,dx = 0 - a\ln(a) - (1-a) = -a\ln(a) -1 + a.

Passo 6

Agora tomamos o limite a\to0^+:
\int_{0}^{1}\ln(x)\,dx = \lim_{a\to0^+}\bigl(-a\ln(a) -1 + a\bigr).
Precisamos avaliar \lim_{a\to0^+} a\ln(a) e \lim_{a\to0^+} a.
  • É claro que \lim_{a\to0^+} a = 0.
  • Para \lim_{a\to0^+} a\ln(a) use uma mudança de variável simples: ponha a=e^{-t} com t\to+\infty. Então
a\ln(a) = e^{-t}\cdot(-t) = -t e^{-t}.
Como exponencial domina a razão linear, \lim_{t\to+\infty} t e^{-t} = 0. Logo
\lim_{a\to0^+} a\ln(a) = 0.
Portanto o limite da expressão é
\lim_{a\to0^+}\bigl(-a\ln(a) -1 + a\bigr) = -0 -1 + 0 = -1.

Passo 7

Concluímos que a integral imprópria converge e que seu valor é -1. Boa! Mesmo com a singularidade em 0 a integral tem um valor finito.

Resposta

-1

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