Calcule a seguinte integral definida:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações importantes que nos são dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - Observação crucial:
não está definida em (ela tende a quando ). Portanto a integral é imprópria e deve ser interpretada como um limite apropriado.
Passo 2
Como a integral é imprópria no extremo
, definimos-a por limite. Para
com
consideramos a integral truncada e depois fazemos
:
Passo 3
Vamos calcular a integral
usando a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para derivar (gera ), -
é a parte que integramos (gera com ).
A ideia é escolher
e
de forma a simplificar a integral
.
Passo 4
Escolhemos
Agora calculamos
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes ao intervalo
:
Passo 5
Simplificamos a segunda integral e avaliamos os termos:
Como
e
, obtemos
Passo 6
Agora tomamos o limite
:
Precisamos avaliar
e
.
- É claro que
. - Para
use uma mudança de variável simples: ponha com . Então
Como exponencial domina a razão linear,
. Logo
Portanto o limite da expressão é
Passo 7
Concluímos que a integral imprópria converge e que seu valor é
. Boa! Mesmo com a singularidade em
a integral tem um valor finito.