Determine a massa do cilindro 0 <= r <= 4,0 <= z <= 3, sabendo-se que sua densidade em ( x, y, z ) é a distância de tal ponto ao plano x y. Resp.: 18 pi

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de raio 4 e altura 3, ou seja a região
E=(r,theta,z)mid 0<= r<= 4,;0<=theta<=2pi,;0<= z<=3
A densidade em cada ponto (x,y,z) é a distância até o plano xy, que é simplesmente lvert zrvert. Como z>=0 na nossa região, temos
de<a(x,y,z)=z
Para achar a massa precisamos computar a integral tripla de de<a sobre E.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) vale dV=r,dr,dtheta,dz e de<a=z. Assim a massa é
M=integral triplaE de<a,dV =integral0^2pi!integral0^4!integral0^3 z;r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^3 z,dz = z^22|0^3 = 92
Logo a integral fica
M = integral0^2pi!integral0^4 92;r,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^4 r,dr = r^22|0^4 = 8
Substituindo,
M = integral0^2pi 92times 8 ;dtheta =36integral0^2pi dtheta

Passo 5

Finalmente, a integral em theta dá um fator 2pi:
M = 36times 2pi = 72pi

Resposta

72pi

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