Considere a função f(x)=-x^2+2 x+8, determine: a) Os zeros de f. b) O vértice de f. c) Esta função tem concavidade para cima ou para baixo? d) O vértice desta função é ponto de máximo ou mínimo? e) Qual o intervalo no qual a função é crescente? f) Qual o intervalo no qual a função é decrescente?

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x) = -x^2 + 2x + 8 e pede:
a) zeros de f; b) vértice; c) concavidade; d) se o vértice é máximo ou mínimo; e) intervalo em que f é crescente; f) intervalo em que f é decrescente.
Para resolver usaremos a fórmula de Bhaskara para zeros, a fórmula do vértice xv=-tfracb2a, analizaremos o coeficiente a para concavidade e concluiremos monotonicidade pela forma da parábola.

Passo 2

Aplicamos Bhaskara à equação -x^2 + 2x + 8 = 0. Aqui a=-1, b=2, c=8. O discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = 2^2 - 4cdot(-1)cdot 8 = 4 + 32 = 36
As raízes são
x = -b pm raizDe<a2a = -2 pm 62cdot(-1)
Logo
x1 = -2 + 6-2 = -2, x2 = -2 - 6-2 = 4

Passo 3

Para o vértice usamos
xv = -b2a = -22cdot(-1) = 1
Então yv = f(1) = -(1)^2 + 2cdot1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9.
O vértice é (1,9).

Passo 4

Como o coeficiente quadrático é a=-1<0, a parábola tem concavidade para baixo.

Passo 5

Concavidade para baixo implica que o vértice é ponto de máximo.

Passo 6

Em parábolas com a<0, f cresce até o vértice e decresce depois. Logo:
- crescente em (-infty,1)
- decrescente em (1,infty).

Resposta

(a) Os zeros de f são -2 e 4.
(b) O vértice de f é (1,9).
(c) A concavidade é para baixo, pois a=-1<0.
(d) O vértice é ponto de máximo.
(e) f é crescente em (-infty,1).
(f) f é decrescente em (1,infty).

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