Considere a função f(x)=x^2-2 x-3, determine: a) Os zeros de f. b) O vértice de f. c) Esta função tem concavidade para cima ou para baixo? d) O vértice desta função é ponto de máximo ou mínimo? e) Qual o intervalo no qual a função é crescente? f) Qual o intervalo no qual a função é decrescente?

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x) = x^2 - 2x - 3
e pede: (a) zeros, (b) vértice, (c) concavidade, (d) se o vértice é máximo ou mínimo, (e) intervalo crescente e (f) intervalo decrescente. Para isso vamos usar fórmula de Bhaskara, fórmula do vértice, análise do coeficiente líder e derivada.

Passo 2

Para achar os zeros basta resolver x^2 - 2x - 3 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-3)2cdot1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42
Logo os zeros são x = -1 e x = 3.
O vértice de uma parábola ax^2 + bx + c está em
xv = -b2a
Aqui a=1 e b=-2, logo
xv = --22cdot1 = 1,
e
f(1) = 1^2 - 2cdot1 - 3 = -4
O vértice é o ponto (1,-4).

Passo 3

A concavidade de f(x)=ax^2+dots depende do sinal de a. Como a=1>0, a parábola tem concavidade para cima.
Se a concavidade é para cima, o vértice é ponto de valor mínimo da função.

Passo 4

A derivada é
f'(x) = 2x - 2
Para f'(x)>0 (função crescente) temos 2x-2>0iff x>1. Para f'(x)<0 (função decrescente) temos x<1.

Resposta

(a) Os zeros são x=-1 e x=3.
(b) O vértice é (1,-4).
(c) A concavidade é para cima.
(d) O vértice é ponto de mínimo.
(e) A função é crescente em (1,infty).
(f) A função é decrescente em (-infty,1).

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