Determine a massa de um fio delgado com a forma y=\sqrt{16-x^{2}}, considerando que a densidade em cada ponto é igual a 8-y.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o fio com a forma y=\sqrt{16-x^{2}}.
  • A densidade linear em cada ponto é \rho(x,y)=8-y.
  • O enunciado pede a massa total do fio.
Informações relevantes que vamos usar:
  • A curva existe para 16-x^{2}\ge 0, portanto x\in[-4,4].
  • A massa de um fio com densidade \rho ao longo de uma curva C é dada por uma integral ao longo da curva: \displaystyle m=\int_{C}\rho\,ds.

Passo 2

Formula geral e explicação do elemento de comprimento:
  • Para uma curva dada por y=f(x) parametrizada por x (com x variando de a a b), o elemento de comprimento é
ds=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando: \tfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x (a inclinação da curva). A expressão \sqrt{1+(\tfrac{dy}{dx})^{2}} vem do teorema de Pitágoras aplicado ao pequeno segmento de curva: ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sqrt{1+(dy/dx)^{2}}\,dx.
Assim a massa é
m=\int_{-4}^{4}\bigl(8-y(x)\bigr)\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx,
onde y(x)=\sqrt{16-x^{2}} e y'(x)=\tfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Calcular a derivada y'(x) passo a passo:
  • Escrevendo y=(16-x^{2})^{1/2}.
  • Usando a regra da cadeia,
y'(x)=\tfrac{1}{2}(16-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{16-x^{2}}}.
Aqui cada passo: a derivada de (\cdot)^{1/2} é \tfrac{1}{2}(\cdot)^{-1/2} e depois multiplica pela derivada interna -2x.

Passo 4

Calcular 1+(y')^{2} e simplificar ds:
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=1+\frac{x^{2}}{16-x^{2}} =\frac{16-x^{2}+x^{2}}{16-x^{2}}=\frac{16}{16-x^{2}}.
Portanto
ds=\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{16}{16-x^{2}}}\,dx=\frac{4}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx.
Explicando: a raiz simplifica porque \sqrt{16}=4.

Passo 5

Montar a integral da massa substituindo y e ds e simplificar o integrando:
  • Lembrando y=\sqrt{16-x^{2}}, \rho=8-y e ds=\dfrac{4}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx.
  • Então
m=\int_{-4}^{4}\bigl(8-\sqrt{16-x^{2}}\bigr)\cdot\frac{4}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx.
Multiplicando e simplificando o integrando:
\bigl(8-\sqrt{16-x^{2}}\bigr)\frac{4}{\sqrt{16-x^{2}}} =\frac{32}{\sqrt{16-x^{2}}}-4.
Logo
m=\int_{-4}^{4}\left(\frac{32}{\sqrt{16-x^{2}}}-4\right)dx.

Passo 6

Calcular a integral final em duas partes:
  • Separando,
m=32\int_{-4}^{4}\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx- \int_{-4}^{4}4\,dx.
  • A segunda integral é direta:
\int_{-4}^{4}4\,dx=4\cdot(4-(-4))=4\cdot 8=32.
  • A primeira integral usa a primitiva conhecida \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,dx=\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)+C com a=4. Portanto
\int_{-4}^{4}\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx=\left[\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)\right]_{-4}^{4} =\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\tfrac{\pi}{2}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\pi.
Multiplicando pelo fator 32 32\pi.
  • Substituindo ambos resultados:
m=32\pi-32=32(\pi-1).

Resposta

32(\pi-1)

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