Determine a massa de um fio delgado com a forma
, considerando que a densidade em cada ponto é igual a
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o fio com a forma
. - A densidade linear em cada ponto é
. - O enunciado pede a massa total do fio.
Informações relevantes que vamos usar:
- A curva existe para
, portanto . - A massa de um fio com densidade
ao longo de uma curva é dada por uma integral ao longo da curva: .
Passo 2
Formula geral e explicação do elemento de comprimento:
- Para uma curva dada por
parametrizada por (com variando de a ), o elemento de comprimento é
Explicando:
é a derivada de
em relação a
(a inclinação da curva). A expressão
vem do teorema de Pitágoras aplicado ao pequeno segmento de curva:
.
Assim a massa é
onde
e
.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo:
- Escrevendo
. - Usando a regra da cadeia,
Aqui cada passo: a derivada de
é
e depois multiplica pela derivada interna
.
Passo 4
Calcular
e simplificar
:
Portanto
Explicando: a raiz simplifica porque
.
Passo 5
Montar a integral da massa substituindo
e
e simplificar o integrando:
- Lembrando
, e . - Então
Multiplicando e simplificando o integrando:
Logo
Passo 6
Calcular a integral final em duas partes:
- Separando,
- A segunda integral é direta:
- A primeira integral usa a primitiva conhecida
com . Portanto
Multiplicando pelo fator
dá
.
- Substituindo ambos resultados: