Calcule a integral de linha \int_{C} x d s, sendo C a curva formada pelo arco da parábola y=\frac{1}{2} x^{2} de (0,0) até (2,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x\,d s, onde C é o arco da parábola \displaystyle y=\tfrac{1}{2}x^{2} que vai do ponto (0,0) até (2,2).
Informações dadas e o que é pedido:
  • Curva: \displaystyle y=\tfrac{1}{2}x^{2}.
  • Extremidades do arco: de (0,0) até (2,2).
  • Integral a calcular: \displaystyle \int_{C} x\,d s, ou seja, integrar a função x ao longo do comprimento da curva C.

Passo 2

Para calcular uma integral de linha do tipo \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,d s quando C é o gráfico de uma função y=f(x) é conveniente usar x como parâmetro. Vou explicar a fórmula básica:
Se a curva é dada por \displaystyle y=y(x) com x variando em um intervalo [a,b], uma parametrização natural é
\mathbf{r}(x)=\bigl(x,\;y(x)\bigr),\qquad x\in[a,b].
O elemento de comprimento de arco é
d s=\sqrt{\left(\frac{dx}{dx}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx =\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui y'(x)=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x. Essa fórmula vem da definição de comprimento de curva: d s=\|\mathbf{r}'(x)\|\,dx.
No nosso caso y(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}. Calculando a derivada:
y'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}\right)=x.
Portanto
d s=\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx=\sqrt{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Agora substituímos na integral de linha. Usando x como parâmetro, os limites são x=0 até x=2. Assim
\int_{C} x\,d s=\int_{0}^{2} x\cdot \sqrt{1+x^{2}}\,dx.
Expliquei antes de onde vem cada termo: o x na integranda é a função que estamos integrando ao longo da curva (avaliada no ponto (x,y(x)) é simplesmente x), e \sqrt{1+x^{2}}\,dx é o elemento de comprimento d s.

Passo 4

Para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{1+x^{2}}\,dx é natural usar a substituição
u=1+x^{2}.
Então
du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Troca dos limites: quando x=0 temos u=1+0^{2}=1; quando x=2 temos u=1+2^{2}=5.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{2} x\sqrt{1+x^{2}}\,dx =\int_{u=1}^{u=5} \sqrt{u}\cdot\frac{1}{2}\,du =\frac{1}{2}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.

Passo 5

Agora integro a potência de u. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim
\frac{1}{2}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du =\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{5} =\frac{1}{3}\left(u^{3/2}\right)\Big|_{1}^{5} =\frac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Podemos escrever 5^{3/2}=(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}, então uma forma alternativa é \dfrac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova: quando a curva for um gráfico y=g(x), parametrizar por x é quase sempre o mais simples; usar d s=\sqrt{1+(g'(x))^{2}}\,dx. Para integrais da forma \int_C x\,d s ou \int_C y\,d s isso costuma levar a integrais em x que se resolvem por substituição ou por potências simples, como fizemos aqui. Força aí — você já domina o procedimento!

Resposta

\dfrac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-1\bigr)

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