Calcule a integral de linha \int_{C} x d s, sendo C a curva formada pelo arco da parábola y=\frac{1}{2} x^{2} de (0,0) até (2,2).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x\,d s, onde C é o arco da parábola \displaystyle y=\tfrac{1}{2}x^{2} que vai do ponto (0,0) até (2,2).
Informações dadas e o que é pedido:
Curva: \displaystyle y=\tfrac{1}{2}x^{2}.
Extremidades do arco: de (0,0) até (2,2).
Integral a calcular: \displaystyle \int_{C} x\,d s, ou seja, integrar a função x ao longo do comprimento da curva C.
Passo 2
Para calcular uma integral de linha do tipo \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,d s quando C é o gráfico de uma função y=f(x) é conveniente usar x como parâmetro. Vou explicar a fórmula básica:
Se a curva é dada por \displaystyle y=y(x) com x variando em um intervalo [a,b], uma parametrização natural é
Expliquei antes de onde vem cada termo: o x na integranda é a função que estamos integrando ao longo da curva (avaliada no ponto (x,y(x)) é simplesmente x), e \sqrt{1+x^{2}}\,dx é o elemento de comprimento d s.
Passo 4
Para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{1+x^{2}}\,dx é natural usar a substituição
Podemos escrever 5^{3/2}=(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}, então uma forma alternativa é \dfrac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).
Passo 6
Resumo prático e dica para a prova: quando a curva for um gráfico y=g(x), parametrizar por x é quase sempre o mais simples; usar d s=\sqrt{1+(g'(x))^{2}}\,dx. Para integrais da forma \int_C x\,d s ou \int_C y\,d s isso costuma levar a integrais em x que se resolvem por substituição ou por potências simples, como fizemos aqui. Força aí — você já domina o procedimento!