Calcule o volume da região limitada pelos planos z=0 e z=x+y+5 e pelos cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9. Faça o esboço.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o volume da região limitada pelas superfícies z=0 e z=x+y+5 e pelos cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9; e fazer um esboço da região.
Informações dadas (resumidas):
  • Plano inferior: z=0.
  • Plano superior: z=x+y+5.
  • Região no plano xy é a coroa (anel) entre os círculos de raios 2 e 3: \{(x,y)\mid 2\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le 3\}.
  • O volume pedido é a porção entre z=0 e z=x+y+5 sobre essa coroa.
Observação importante (informação que veio do enunciado): a função altura x+y+5 é positiva em toda a coroa (verificável porque o mínimo de x+y na coroa é maior que -5), logo o teto está sempre acima do plano z=0 na região considerada. Portanto o volume é simplesmente a integral dupla da função x+y+5 sobre a coroa.

Passo 2

Montar a expressão para o volume usando integrais duplas. Lembrete teórico prático: se uma região D no plano xy está entre duas superfícies z=g(x,y) (teto) e z=h(x,y) (chão) com g\ge h, então o volume é
\mathrm{Volume}=\iint_{D}\bigl(g(x,y)-h(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui g(x,y)=x+y+5 e h(x,y)=0. Logo
\mathrm{Volume}=\iint_{D}(x+y+5)\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid 2\le r\le 3\} (corresponde ao anel entre os círculos).
Explicando cada símbolo:
  • \iint_{D} significa integrar sobre a região D no plano xy.
  • dA é o elemento de área no plano xy.
  • A integral de uma função f(x,y) sobre D soma os “pequenos tijolinhos” de altura f e base dA, produzindo o volume.

Passo 3

Trocar para coordenadas polares — por que é natural aqui: a região D é descrita por círculos concêntricos, então coordenadas polares simplificam os limites.
Recordando as fórmulas de coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
e o elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta.
Substituindo x e y na integranda, obtemos
x+y+5 = r\cos\theta + r\sin\theta + 5.
Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta dá o integrando em polares:
\bigl(r\cos\theta + r\sin\theta +5\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \bigl(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + 5r\bigr)\,dr\,d\theta.
Os limites na região D em polares são simples:
2\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Portanto a integral do volume fica
\mathrm{Volume}=\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}\bigl(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + 5r\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Avaliar a integral passo a passo.
Separe em três integrais:
\mathrm{Volume}= \int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta +\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta +\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}5r\,dr\,d\theta.
Explicação de simetria (por que as duas primeiras somam zero): as integrais em \theta de \cos\theta e \sin\theta sobre um período inteiro [0,2\pi] valem zero:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.
Como os fatores em r não dependem de \theta, pode-se escrever, por exemplo,
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta =\left(\int_{2}^{3}r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right)=\left(\int_{2}^{3}r^{2}\,dr\right)\cdot 0=0.
Mesma coisa para o termo com \sin\theta. Resta apenas o terceiro termo.
Calcule o termo restante:
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}5r\,dr\,d\theta =5\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{2}^{3}r\,dr\right).
Calcule cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
\int_{2}^{3}r\,dr = \frac{1}{2}\bigl(3^{2}-2^{2}\bigr) = \frac{1}{2}(9-4)=\frac{5}{2}.
Substituindo,
\mathrm{Volume} = 5\cdot 2\pi \cdot \frac{5}{2} = 5\cdot 5\pi = 25\pi.
Portanto o volume pedido é \;25\pi\; (unidades cúbicas).

Passo 5

Esboço (como desenhar a região — instruções passo a passo para o rascunho):
  1. No plano xy: desenhe dois círculos concêntricos centrados na origem com raios 2 e 3. A região de integração é o anel entre esses dois círculos.
  2. Trace o plano z=0 como o plano horizontal (o plano xy).
  3. Trace o plano inclinado z=x+y+5: é um plano oblíquo que intersecta o eixo z em z=5 (quando x=y=0) e sobe na direção onde x+y aumenta (direção na bissetriz \theta=\pi/4) e desce na direção oposta. Sobre a coroa, o teto é uma superfície inclinada acima do plano xy.
  4. Para visualizar o sólido, imagine a coroa verticalmente elevada desde z=0 até a superfície inclinada z=x+y+5. As bordas do sólido são as curvas sobre os círculos r=2 e r=3, onde a altura varia com o ângulo \theta.
  5. Se quiser marcar valores extremos, calcule a altura máxima e mínima do teto na borda externa r=3:
\max(z)=3\sqrt{2}+5\approx 9{,}243,\qquad \min(z)=5-3\sqrt{2}\approx 0{,}757,
e na borda interna r=2 os extremos são 5\pm 2\sqrt{2}. Isso ajuda a desenhar a inclinação correta.
Força aí — o desenho ajuda muito a entender a geometria: um anel com um “telhado” inclinado por cima.

Resposta

25\pi

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