Calcule o volume da região limitada pelos planos
e
e pelos cilindros
e
. Faça o esboço.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o volume da região limitada pelas superfícies
e
e pelos cilindros
e
; e fazer um esboço da região.
Informações dadas (resumidas):
- Plano inferior:
. - Plano superior:
. - Região no plano
é a coroa (anel) entre os círculos de raios e : . - O volume pedido é a porção entre
e sobre essa coroa.
Observação importante (informação que veio do enunciado): a função altura
é positiva em toda a coroa (verificável porque o mínimo de
na coroa é maior que
), logo o teto está sempre acima do plano
na região considerada. Portanto o volume é simplesmente a integral dupla da função
sobre a coroa.
Passo 2
Montar a expressão para o volume usando integrais duplas. Lembrete teórico prático: se uma região
no plano
está entre duas superfícies
(teto) e
(chão) com
, então o volume é
Aqui
e
. Logo
onde
(corresponde ao anel entre os círculos).
Explicando cada símbolo:
-
significa integrar sobre a região no plano . -
é o elemento de área no plano . - A integral de uma função
sobre soma os “pequenos tijolinhos” de altura e base , produzindo o volume.
Passo 3
Trocar para coordenadas polares — por que é natural aqui: a região
é descrita por círculos concêntricos, então coordenadas polares simplificam os limites.
Recordando as fórmulas de coordenadas polares:
e o elemento de área transforma como
Substituindo
e
na integranda, obtemos
Multiplicando por
dá o integrando em polares:
Os limites na região
em polares são simples:
Portanto a integral do volume fica
Passo 4
Avaliar a integral passo a passo.
Separe em três integrais:
Explicação de simetria (por que as duas primeiras somam zero): as integrais em
de
e
sobre um período inteiro
valem zero:
Como os fatores em
não dependem de
, pode-se escrever, por exemplo,
Mesma coisa para o termo com
. Resta apenas o terceiro termo.
Calcule o termo restante:
Calcule cada parte:
Substituindo,
Portanto o volume pedido é
(unidades cúbicas).
Passo 5
Esboço (como desenhar a região — instruções passo a passo para o rascunho):
- No plano
: desenhe dois círculos concêntricos centrados na origem com raios e . A região de integração é o anel entre esses dois círculos. - Trace o plano
como o plano horizontal (o plano ). - Trace o plano inclinado
: é um plano oblíquo que intersecta o eixo em (quando ) e sobe na direção onde aumenta (direção na bissetriz ) e desce na direção oposta. Sobre a coroa, o teto é uma superfície inclinada acima do plano . - Para visualizar o sólido, imagine a coroa verticalmente elevada desde
até a superfície inclinada . As bordas do sólido são as curvas sobre os círculos e , onde a altura varia com o ângulo . - Se quiser marcar valores extremos, calcule a altura máxima e mínima do teto na borda externa
:
e na borda interna
os extremos são
. Isso ajuda a desenhar a inclinação correta.
Força aí — o desenho ajuda muito a entender a geometria: um anel com um “telhado” inclinado por cima.