Determine a massa de um hemisfรฉrio sรณlido
de raio
se a densidade em qualquer ponto รฉ proporcional a sua distรขncia ao centro da base. Resp.
, onde
รฉ a constante de proporcionalidade.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um hemisfério sólido de raio
, cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro da base. O conteúdo aqui é cálculo de integral tripla em coordenadas esféricas.
Passo 2
Seja
um ponto do hemisfério com base no plano
e centro na origem. A densidade é
A massa é dada por
Passo 3
Escolhemos coordenadas esféricas
centradas na origem:
com
,
,
, e
Passo 4
Substituindo em
:
Calculamos:
Passo 5
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