Determine a massa de um hemisfรฉrio sรณlido H de raio a se a densidade em qualquer ponto รฉ proporcional a sua distรขncia ao centro da base. Resp. K pi a^4 / 2, onde K รฉ a constante de proporcionalidade.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um hemisfério sólido de raio a, cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao centro da base. O conteúdo aqui é cálculo de integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 2

Seja (x,y,z) um ponto do hemisfério com base no plano z=0 e centro na origem. A densidade é
rho(x,y,z)=Kraizx^2+y^2+z^2
A massa é dada por
M=integral triplaH rho(x,y,z),dV

Passo 3

Escolhemos coordenadas esféricas (r,phi,theta) centradas na origem:
x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi,
com rin[0,a], phiin[0,tfracpi2], thetain[0,2pi], e
dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 4

Substituindo em M:
M =Kintegral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^a l(rr)l(r^2sinphir),dr,dphi,dtheta =Kintegral0^2pidthetaintegral0^pi/2sinphi,dphiintegral0^ar^3,dr
Calculamos:
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pi/2sinphi,dphi=1, integral0^ar^3,dr=a^44

Passo 5

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M = Kcdot2picdot1cdota^44 = Kpi a^42

Resposta

Kpi a^42

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