Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.2) limitado pelo cone circular reto de raio
e altura
, com vértice na origem, com eixo coincidente com
(Pode assumir o resultado para o volume do cone e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 )
(5.2) limitado pelo cone circular reto de raio
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que encontrar as coordenadas do centróide de um cone circular reto com raio
e altura
. A base do cone está no plano
e o vértice está na origem. Como o problema já disse que as coordenadas
e
do centróide são zero, nosso foco é achar a coordenada
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centróide para sólidos de revolução, especificamente para um cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centróide é como o “ponto médio” de um objeto, considerando sua forma e distribuição de volume. No caso de um cone, devido à sua simetria em torno do eixo
, sabemos que as coordenadas
e
do centróide serão zero. Então, precisamos apenas calcular a posição ao longo do eixo
.
Passo 3
A fórmula para encontrar a coordenada
do centróide (
) de um sólido é:
Aqui,
é a integral de
sobre todo o volume do cone, e
é o volume total do cone.
Passo 4
Sabemos que o volume
de um cone é dado por:
Como a densidade é uniforme, podemos usar esse valor diretamente na fórmula do centróide.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde um elemento de volume
do cone é:
Mas, devido à simetria, podemos simplificar a integração. A coordenada
varia de
(vértice) a
(base), e o raio
em qualquer
é proporcional a
, já que o cone é reto. Então,
.
A integral fica:
Resolvendo a integral:
- Integramos em
:
- Integramos em
:
- Integramos em
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula do centróide:
Resposta
As coordenadas do centróide do cone são
.