Determine a massa do sólido 
  limitado pelo paraboloide 
  e pelo plano 
 , se 
  tem densidade constante 
 .
BOA PROVA!
BOA PROVA!
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo geometria sólida. A questão pede para determinar a massa de um sólido limitado pelo paraboloide 
  e pelo plano 
 , sabendo que a densidade do sólido é constante, representada por 
 . Para resolver isso, vamos precisar calcular o volume desse sólido e então multiplicar pela densidade 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do sólido. O paraboloide 
  é uma superfície parabólica que se abre para cima. O plano 
  corta esse paraboloide, criando uma região fechada. Queremos calcular o volume dessa região limitada.
Passo 3
Para calcular o volume, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas devido à simetria do paraboloide. Nas coordenadas cilíndricas, 
 , 
  e 
 . A equação do paraboloide fica 
 .
Passo 4
O limite superior de 
  é o plano 
 . Portanto, vamos integrar 
  de 
  até 
 . Os limites para 
  vão de 0 até onde o paraboloide e o plano se interceptam.
Passo 5
Para encontrar o limite de 
 , igualamos as equações do paraboloide e do plano:
Então, 
  varia de 0 a 1.
Passo 6
A integral para o volume 
  em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, 
  é o fator de Jacobiano para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em 
 :
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em 
 :
Passo 9
Por fim, resolvemos a integral em 
 :
Então, o volume do sólido é 
 .
Passo 10
Agora que temos o volume, podemos calcular a massa 
  multiplicando o volume pela densidade constante 
 :
Resposta
A massa do sólido 
  é 
 .