Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=\left(1+4 x^{3} y^{3}\right) \mathbf{i}+3 x^{4} y^{2} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(1+4x^{3}y^{3}\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(3x^{4}y^{2}\bigr)\,\mathbf{j}
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F} = \nabla f.

Passo 2

Para um campo \mathbf{F}=(P,Q) definido em \mathbb{R}^{2} simplesmente conexo, basta checar
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\; \frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui
P(x,y) = 1 + 4x^{3}y^{3},
Q(x,y) = 3x^{4}y^{2}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = 12\,x^{3}y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x} = 12\,x^{3}y^{2}.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^{2}, \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Sabendo que \mathbf{F}=\nabla f, temos
\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 4x^{3}y^{3}.
Integramos em relação a x:
f(x,y) = \int \bigl(1 + 4x^{3}y^{3}\bigr)\,dx = x + x^{4}y^{3} + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Para determinar h(y), exigimos que
\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^{4}y^{2} + h'(y)
deva coincidir com Q(x,y)=3x^{4}y^{2}. Logo
3x^{4}y^{2} + h'(y) = 3x^{4}y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 0
e, portanto, h(y) é constante.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y) = x + x^{4}y^{3} + C,
com C constante.

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