Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=\left(x+y^{2}\right) \mathbf{i}+\left(2 x y+y^{2}\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=(P,Q)=(x+y^2,\;2xy+y^2)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}. Vamos usar o critério de que, num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), \mathbf{F} é conservativo se e somente se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(x+y^2)=2y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2xy+y^2)=2y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y), integramos P(x,y) em relação a x:
f(x,y)=\int (x+y^2)\,dx=\frac{x^2}{2}+x\,y^2+g(y),
onde g(y) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 4

Agora impomos que \partial f/\partial y = Q(x,y). Calculando
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial }{\partial y}\Bigl(\frac{x^2}{2}+x\,y^2+g(y)\Bigr) =2x y+g'(y),
devemos ter
2x y+g'(y)=2x y+y^2 \;\Longrightarrow\; g'(y)=y^2.
Integrando g'(y), obtemos
g(y)=\int y^2\,dy=\frac{y^3}{3}+C.

Passo 5

Substituindo g(y) em f, a função potencial (ignorando a constante C) é
f(x,y)=\frac{x^2}{2}+x\,y^2+\frac{y^3}{3}.

Resposta

\displaystyle\mathbf{F} é conservativo e uma função f tal que \nabla f=\mathbf{F} é
f(x,y)=\frac{x^2}{2}+x\,y^2+\frac{y^3}{3}.

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