Determine se \mathbf{b} está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b como combinação linear dos vetores coluna de A.
A=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2\end{array}\right] ; \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 5 \\\\ 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e o vetor \mathbf{b} e pede duas coisas:
  • Determinar se \mathbf{b} está no espaço coluna de A.
  • Se estiver, escrever \mathbf{b} como combinação linear das colunas de A.
Dados fornecidos:
A=\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & 1 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]5\\[4pt]7\end{bmatrix}.
O que precisa ser encontrado: uma solução (se existir) para os escalares x_1,x_2,x_3,x_4 tais que
x_1\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix} +x_2\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{bmatrix} +x_3\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix} +x_4\begin{bmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]2\end{bmatrix} =\mathbf{b}.]

Passo 2

Traduzimos isso para um sistema linear matrixial. Definindo
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{bmatrix},
queremos resolver
A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Explicando: cada x_i é o coeficiente que multiplica a i-ésima coluna de A. Se existir \mathbf{x} que satisfaça essa igualdade, então \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A.]

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}]:
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2 & 7 \end{array}\right].]

Passo 4

Vou usar eliminação de Gauss (operações de linha elementares: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não zero, e somar múltiplos de uma linha a outra) para levar a matriz aumentada a uma forma triangular que permita encontrar as incógnitas. O processo torna claro se o sistema é compatível (tem solução) ou não.

Passo 5

Como a primeira coluna tem um 1 na segunda linha, troco a primeira linha com a segunda para ter pivô na primeira linha:
R_1 \leftrightarrow R_2: \qquad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2 & 7 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora uso R_2 (que tem 1 em coluna 2 ) para zerar a entrada correspondente em R_1 e R_3.
Fazer R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2:
R_1 = [1\;2\;1\;3\mid5] - 2\cdot[0\;1\;2\;1\mid3] = [1\;0\;1-4\;3-2\mid 5-6] = [1\;0\;-3\;1\mid -1].
Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
R_3 = [0\;1\;2\;2\mid7] - [0\;1\;2\;1\mid3] = [0\;0\;0\;1\mid4].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 7

A forma obtida é triangular (linha escalonada). Interpretemos cada linha como uma equação:
  • Da terceira linha: \;0x_1+0x_2+0x_3+1x_4=4, isto é,
x_4=4.
  • Da segunda linha: \;x_2+2x_3+x_4=3. Substituindo x_4=4,
x_2+2x_3+4=3 \quad\Rightarrow\quad x_2=3-2x_3-4 = -1-2x_3.
  • Da primeira linha: \;x_1-3x_3+x_4=-1. Substituindo x_4=4,
x_1-3x_3+4=-1 \quad\Rightarrow\quad x_1=-1+3x_3-4 = -5+3x_3.
Observação: a coluna 3 não tem pivô — x_3 é uma variável livre. Denotamos x_3=t (parâmetro livre). Assim a solução geral é
\begin{bmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5+3t\\[4pt]-1-2t\\[4pt]t\\[4pt]4\end{bmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Como existe solução (de fato uma família infinita, por causa de t), concluímos que \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A.
Para obter uma combinação linear explícita, basta escolher um valor para t. A escolha mais simples é t=0. Com t=0 obtemos a solução particular
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}-5\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]4\end{bmatrix}.
Isto significa
\mathbf{b} = -5\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix} -1\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{bmatrix} +0\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix} +4\begin{bmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Para checar (somando as colunas multiplicadas pelos coeficientes):
-5\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix} -1\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{bmatrix} +4\begin{bmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\[4pt]-5\\[4pt]0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}4\\[4pt]12\\[4pt]8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\[4pt]5\\[4pt]7\end{bmatrix}=\mathbf{b},
confirmando que a combinação funciona.]

Resposta

Sim, \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A.
\mathbf{b} = -5\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix} -1\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{bmatrix} +0\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]2\end{bmatrix} +4\begin{bmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]2\end{bmatrix}.]

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