Determine se \mathbf{b} está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b como combinação linear dos vetores coluna de A. A=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2\end{array}\right] ; \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 5 \\\\ 7\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e o vetor \mathbf{b} e pede duas coisas:
Determinar se \mathbf{b} está no espaço coluna de A.
Se estiver, escrever \mathbf{b} como combinação linear das colunas de A.
Explicando: cada x_i é o coeficiente que multiplica a i-ésima coluna de A. Se existir \mathbf{x} que satisfaça essa igualdade, então \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A.]
Vou usar eliminação de Gauss (operações de linha elementares: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não zero, e somar múltiplos de uma linha a outra) para levar a matriz aumentada a uma forma triangular que permita encontrar as incógnitas. O processo torna claro se o sistema é compatível (tem solução) ou não.
Passo 5
Como a primeira coluna tem um 1 na segunda linha, troco a primeira linha com a segunda para ter pivô na primeira linha: