Determine se \mathbf{b} está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b como combinação linear dos vetores coluna de A. A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right] ; \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar se \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A e, se pertencer, escrever \mathbf{b} como combinação linear das colunas de A.
Conceito importante (explicando devagar): \emph{o espaço coluna} de A, denotado \operatorname{Col}(A), é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. Ou seja, \mathbf{b}\in\operatorname{Col}(A) se e somente se existem escalares x_1,x_2,x_3 tais que
Estratégia prática: tentar resolver esse sistema. Antes de montar todo o sistema, faço uma observação simples sobre as colunas que facilita (é sempre bom procurar padrões): calculemos \mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2:
Ou seja, \mathbf{c}_3=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2. Isso mostra que as colunas são linearmente dependentes e que toda combinação x_1\mathbf{c}_1+x_2\mathbf{c}_2+x_3\mathbf{c}_3 pode ser reescrita como
(x_1+x_3)\mathbf{c}_1 + (x_2+x_3)\mathbf{c}_2.
Portanto basta ver se existem escalares s,t tais que
s\mathbf{c}_1 + t\mathbf{c}_2 = \mathbf{b},
onde s=x_1+x_3 e t=x_2+x_3. Isso reduz o problema a um sistema 2\times 2 (mas com 3 equações, já que trabalhamos em \mathbb{R}^3).]
Passo 3
Escrevendo as componentes da igualdade s\mathbf{c}_1+t\mathbf{c}_2=\mathbf{b}\) componente a componente obtemos o sistema:
\[\begin{cases} s + t = -1,\\[4pt] s + 0\cdot t = 0,\\[4pt] 2s + t = 2. \end{cases}
Da segunda equação temos imediatamente
s = 0.
Substituindo (s=0] na primeira equação dá 0 + t = -1 \quad\Rightarrow\quad t = -1.]
Passo 4
Agora verificamos a terceira equação com s=0 e t=-1:
2s + t = 2\cdot 0 + (-1) = -1.
Mas a terceira equação exige 2s+t=2. Portanto obtemos a igualdade
-1 = 2,
que é impossível. Em outras palavras, o sistema é inconsistente: não existem s,t (e assim não existem x_1,x_2,x_3) que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.
Observação alternativa (confirmação por eliminação): montando a matriz aumentada e fazendo eliminação por linhas chegamos a uma linha do tipo 0\\\ 0\\\ 0\mid 3, isto é a equação 0=3, novamente inconsistente. Ambas as vias levam à mesma conclusão: não há solução.
Passo 5
Interpretação final do que encontramos (sem repetir a resposta em forma final): a impossibilidade algebraica acima significa que \mathbf{b} não pode ser escrito como combinação linear das colunas de A. Geometricamente, as colunas de A geram um subespaço de dimensão 2 (um plano) em \mathbb{R}^3, e \mathbf{b} está fora desse plano.
Resposta
Não. \mathbf{b} não pertence ao espaço coluna de A.