Determine se
é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função
tal que
.
10.
10.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se é conservador e, em caso afirmativo, achar tal que
. O conteúdo necessário é o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas e, se for conservador, a construção de uma potencial via integração de uma componente e ajuste de uma função de
.
e pede para verificar se é conservador e, em caso afirmativo, achar
Passo 2
Escrevendo
calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, o campo é conservador em
(domínio simplesmente conectado).
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, obtém-se
e
Somando,
Passo 4
Para determinar
, igualamos
a
:
logo
e
é constante. Podemos tomar
.
Resposta
Uma potencial é
pois daí
.