Determine \mathbf{E} na origem se as seguintes distribuições de carga estão presentes no espaço livre: uma carga pontual de 12 nC , em P(2,0,6); uma densidade linear de carga uniforme de 3 \mathrm{nC} / \mathrm{m}, em x=-2 \mathrm{~m}, y=3 \mathrm{~m}; uma densidade superficial de carga uniforme de 0,2 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}, em x=2 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá três distribuições de carga e pede o campo elétrico \mathbf{E} na origem. Vou listar claramente o que foi dado (sem fazer suposições ocultas):
  • Uma carga pontual de 12\\ \mathrm{nC} localizada em P(2,0,6). Ou seja, q = 12\\ \mathrm{nC} em (2,0,6).
  • Uma densidade linear de carga uniforme \lambda = 3\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m} localizada em x=-2\\ \mathrm{m},\\ y=3\\ \mathrm{m}. Interpretação padrão: trata‑se de uma linha infinita (paralela ao eixo z) que passa pelo ponto (-2,3,0).
  • Uma densidade superficial de carga uniforme \sigma = 0{,}2\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2 localizada em x=2\\ \mathrm{m}. Interpretação padrão: trata‑se de um plano infinito x=2 com densidade superficial uniforme.
O que o problema pede: calcular \mathbf{E} no ponto (0,0,0) (origem), somando as contribuições das três distribuições.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (com explicações didáticas e sem pular etapas):
  1. Princípio da superposição: o campo total é soma vetorial das contribuições individuais,
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{\text{ponto}}+\mathbf{E}_{\text{linha}}+\mathbf{E}_{\text{plano}}.
Isto vale porque o campo elétrico é linear nas cargas.
  1. Campo de uma carga pontual (Lei de Coulomb):
\mathbf{E}_{\text{ponto}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde q é a carga (em coulombs), \mathbf{r} é o vetor que vai da carga até o ponto onde se quer o campo, r=|\mathbf{r}|, \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r é o vetor unitário. A constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9{,}0\times10^9\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
  1. Campo de uma linha infinita de carga (paralela a z), em distância perpendicular s da linha:
E_{\text{linha}}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}.
Esse campo é radial no plano perpendicular à linha e aponta para fora da linha se \lambda>0. Nota útil: usando k, \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}=2k, logo E_{\text{linha}}=\dfrac{2k\lambda}{s}.
  1. Campo de um plano infinito uniformemente carregado:
E_{\text{plano}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0},
direção normal ao plano, apontando para fora do plano se \sigma>0. Em termos de k, \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=2\pi k\sigma.
Antes de calcular, converto unidades para o SI:
q=12\\ \mathrm{nC}=12\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad \lambda=3\\ \mathrm{nC/m}=3\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}, \qquad \sigma=0{,}2\\ \mathrm{nC/m^2}=0{,}2\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}=2{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 3

Campo devido à carga pontual em P(2,0,6) no ponto origem.
  • Vetor que vai da carga até a origem:
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{\text{origem}}-\mathbf{r}_{\text{carga}}=(0-2,\;0-0,\;0-6)=(-2,\;0,\;-6)\\ \mathrm{m}.
  • Distância:
r=|\mathbf{r}|=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-6)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\\ \mathrm{m}.
  • Versor:
\hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r}=\left(-\dfrac{2}{2\sqrt{10}},\;0,\;-\dfrac{6}{2\sqrt{10}}\right)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\;0,\;-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right).
  • Magnitude do campo:
E_{\text{ponto}}=\dfrac{k\,q}{r^2}=\dfrac{9{,}0\times10^9\cdot 12\times10^{-9}}{(2\sqrt{10})^2} =\dfrac{9{,}0\times10^9\cdot 12\times10^{-9}}{40}.
Calcule passo a passo: 9{,}0\times10^9\cdot 12\times10^{-9}=108 (unidade N·m2/C2 · C = N·m^2) e dividir por 40 2{,}7\\ \mathrm{N/C}. Logo
E_{\text{ponto}}=2{,}7\\ \mathrm{N/C}.
  • Componentes:
\mathbf{E}_{\text{ponto}}=E_{\text{ponto}}\hat{\mathbf{r}} =2{,}7\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\;0,\;-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right) =\left(-\dfrac{2{,}7}{\sqrt{10}},\;0,\;-\dfrac{8{,}1}{\sqrt{10}}\right)\\ \mathrm{N/C}.
Valores numéricos (usando \sqrt{10}\approx3{,}16227766):
\mathbf{E}_{\text{ponto}}\approx(-0{,}853815,\;0,\;-2{,}561445)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 4

Campo devido à linha infinita de carga, localizada em (x,y)=(-2,3) e paralela a z, no ponto origem.
  • Vetor do ponto mais próximo da linha (qualquer ponto da linha com mesma x,y) até a origem no plano xy é
\mathbf{s}=(0-(-2),\;0-3,\;0)=(2,\;-3,\;0).
  • Distância perpendicular da origem à linha:
s=|\mathbf{s}|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\\ \mathrm{m}.
  • Magnitude do campo (fórmula da linha infinita):
E_{\text{linha}}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}=\dfrac{2k\lambda}{s}.
Em números: 2k\lambda=2\cdot 9{,}0\times10^9\cdot 3\times10^{-9}=54 (N·m/C). Assim
E_{\text{linha}}=\dfrac{54}{\sqrt{13}}\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: para \lambda>0 o campo aponta radialmente para fora da linha, ou seja, do ponto da linha na direção do vetor \mathbf{s} (da linha em direção à origem). O versor no plano é
\hat{\mathbf{s}}=\dfrac{\mathbf{s}}{s}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}},\;-\dfrac{3}{\sqrt{13}},\;0\right).
  • Componentes do campo da linha:
\mathbf{E}_{\text{linha}}=E_{\text{linha}}\hat{\mathbf{s}} =\dfrac{54}{\sqrt{13}}\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}},\;-\dfrac{3}{\sqrt{13}},\;0\right) =\left(\dfrac{108}{13},\;-\dfrac{162}{13},\;0\right)\\ \mathrm{N/C}.
Valores numéricos:
\mathbf{E}_{\text{linha}}\approx(8{,}307692,\;-12{,}461538,\;0)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Campo devido ao plano infinito x=2 com densidade superficial \sigma=2{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}.
  • Magnitude do campo de um plano infinito:
E_{\text{plano}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=2\pi k\sigma.
Calcule: 2\pi k\sigma=2\pi\cdot 9{,}0\times10^9\cdot 2{,}0\times10^{-10}=3{,}6\pi\\ \mathrm{N/C}.
  • Sinal/direção: o plano está em x=2. Para \sigma>0 o campo aponta para fora do plano, isto é, nas duas faces do plano o campo aponta em direções opostas; do lado x<2 (onde está a origem x=0) o campo aponta no sentido negativo de x. Portanto
\mathbf{E}_{\text{plano}}=(-3{,}6\pi,\;0,\;0)\\ \mathrm{N/C}.
Valor numérico:
\mathbf{E}_{\text{plano}}\approx(-11{,}3097336,\;0,\;0)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Somar vetorialmente as três contribuições componente a componente.
  • Componente x:
E_x=E_{x,\text{ponto}}+E_{x,\text{linha}}+E_{x,\text{plano}} =-\dfrac{2{,}7}{\sqrt{10}}+\dfrac{108}{13}-3{,}6\pi.
Usando os valores numéricos calculados:
E_x\approx -0{,}853815 + 8{,}307692 - 11{,}3097336 \approx -3{,}855856\\ \mathrm{N/C}.
  • Componente y:
E_y=E_{y,\text{ponto}}+E_{y,\text{linha}}+E_{y,\text{plano}}=0 + \left(-\dfrac{162}{13}\right) + 0 \approx -12{,}461538\\ \mathrm{N/C}.
  • Componente z:
E_z=E_{z,\text{ponto}}+E_{z,\text{linha}}+E_{z,\text{plano}}=-\dfrac{8{,}1}{\sqrt{10}} + 0 + 0 \approx -2{,}561445\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando para 3 casas decimais (mantendo clareza para conferência):
\mathbf{E}(0)\approx(-3{,}856,\;-12{,}462,\;-2{,}561)\\ \mathrm{N/C}.
Pequeno incentivo: respira fundo — o processo é sempre o mesmo na prova: identificar cada distribuição, usar a fórmula apropriada e somar vetorialmente. Se souber aplicar essas três fórmulas básicas (ponto, linha, plano), a maior parte dos exercícios desse tipo fica tranquila.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(0)\approx\langle -3{,}856,\\\ -12{,}462,\\\ -2{,}561\rangle\\ \mathrm{N/C}

Exercícios relacionados