Determine a carga total:
sobre a linha dada por
, se
;
sobre a linha dada por
Passo 1
O enunciado pede a carga total distribuída ao longo da linha no intervalo
. As informações dadas são:
- A densidade linear de carga é
. - O segmento onde a carga está distribuída é
.
A pergunta é: qual é a carga totalcontida nesse trecho da linha?
Passo 2
Ideia física e matemática (sem pânico — é só soma contínua).
- A densidade linear
dá a carga por unidade de comprimento no ponto . Isso significa que, num pequeno trecho de comprimento em torno de , a carga contida é . - Para somar todas essas cargas ao longo do intervalo fazemos uma integral definida. Portanto a fórmula que usamos é
Aqui
e
são os limites do segmento (no nosso caso
e
),
é a variável de posição ao longo da linha,
é a densidade linear em
e
será em
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao problema com os dados fornecidos:
Observação de unidades:
multiplicado por
(em
) resulta em
. Podemos tratar o fator de unidade separadamente e integrar a função numérica.
Passo 4
Calcular a integral passo a passo.
- Antiderivada de
é . Logo a antiderivada de é
- Avaliando entre os limites
e :
- Calcule
, então
Passo 5
Converter para coulombs (unidade SI), se preferir:
-
, portanto