Determine a carga total:
sobre a linha dada por 0<x<5 \mathrm{~m}, se \rho_{L}=12 x^{2} m \mathrm{C} / \mathrm{m};

Passo 1

O enunciado pede a carga total distribuída ao longo da linha no intervalo 0<x<5\\ \mathrm{m}. As informações dadas são:
  • A densidade linear de carga é \rho_{L}(x)=12x^{2}\\ \mathrm{mC/m}.
  • O segmento onde a carga está distribuída é 0<x<5\\ \mathrm{m}.
    A pergunta é: qual é a carga total Q contida nesse trecho da linha?

Passo 2

Ideia física e matemática (sem pânico — é só soma contínua).
  • A densidade linear \rho_{L}(x) dá a carga por unidade de comprimento no ponto x. Isso significa que, num pequeno trecho de comprimento dx em torno de x, a carga contida é dq=\rho_{L}(x)\,dx.
  • Para somar todas essas cargas ao longo do intervalo fazemos uma integral definida. Portanto a fórmula que usamos é
Q=\int_{x_1}^{x_2}\rho_{L}(x)\,dx.
Aqui x_1 e x_2 são os limites do segmento (no nosso caso 0 e 5), x é a variável de posição ao longo da linha, \rho_{L}(x) é a densidade linear em \mathrm{mC/m} e Q será em \mathrm{mC}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema com os dados fornecidos:
Q=\int_{0}^{5}12x^{2}\\ \mathrm{mC/m}\;dx.
Observação de unidades: \mathrm{mC/m} multiplicado por dx (em \mathrm{m}) resulta em \mathrm{mC}. Podemos tratar o fator de unidade separadamente e integrar a função numérica.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo.
  • Antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Logo a antiderivada de 12x^{2} é
12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3}.
  • Avaliando entre os limites 0 e 5:
Q = \left.4x^{3}\right|_{0}^{5} = 4\cdot 5^{3} - 4\cdot 0^{3}.
  • Calcule 5^{3}=125, então
Q = 4\cdot 125 = 500\\ \mathrm{mC}.

Passo 5

Converter para coulombs (unidade SI), se preferir:
  • 1\\ \mathrm{mC}=10^{-3}\\ \mathrm{C}, portanto
Q = 500\\ \mathrm{mC}=500\times10^{-3}\\ \mathrm{C}=0,5\\ \mathrm{C}.

Resposta

Q=500\\ \mathrm{mC}=0,5\\ \mathrm{C}

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