Determine se mathbfF é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(ln y+2 x y^3) i+(3 x^2 y^2+x / y) j

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = l(ln y + 2 x y^3r),i + l(3 x^2y^2 + tfracxyr),j
e pede para verificar se F é conservador e, em caso afirmativo, encontrar f tal que F=nabla f. O conteúdo envolvido é: domínio de F, teste partial P/partial y = partial Q/partial x em um domínio simplesmente conectado, e construção da potencial por integração.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=ln y + 2x y^3 e Q(x,y)=3x^2y^2 + x/y. O domínio natural é (x,y)mid y>0, que é aberto e simplesmente conectado. Calculamos
partial Ppartial y = 1y + 2xcdot 3y^2 = 1y + 6x y^2,
partial Qpartial x = 6x y^2 + 1y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, F é conservador em y>0.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y) satisfazendo fx=P, integramos P em relação a x:
f(x,y) = integrall(ln y + 2x y^3r),dx = xln y + x^2y^3 + C(y),
onde C(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo fy = Q, temos
fy = partialpartial yl(xln y + x^2y^3 + C(y)r) = xy + 3x^2y^2 + C'(y)
e deve ser igual a 3x^2y^2 + tfracxy. Logo
xy + 3x^2y^2 + C'(y) = 3x^2y^2 + xy Longrightarrow C'(y)=0
e C(y) é constante.

Resposta

F é conservador no domínio y>0, com potencial
f(x,y) = xln y + x^2y^3 + C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados