Determine se
é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se
é conservador e, em caso afirmativo, encontrar
tal que
. O conteúdo envolvido é: domínio de
, teste
em um domínio simplesmente conectado, e construção da potencial por integração.
Passo 2
Identificamos
e
. O domínio natural é
, que é aberto e simplesmente conectado. Calculamos
Como
,
é conservador em
.
Passo 3
Para achar a função potencial
satisfazendo
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
, temos
e deve ser igual a
. Logo
e
é constante.
Resposta
onde
é constante arbitrária.