Determine se
é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial em
onde
Queremos ver se
é conservador e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
isto é,
Passo 2
Verificamos a condição de conservatividade num domínio simplesmente conexo (aqui todo
) comparando as derivadas parciais cruzadas:
Como
em todo
, conclui-se que
é conservador.
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Agora impomos que
deve ser igual a
. Logo
e portanto
é constante.
Resposta
A função potencial pode ser escolhida como
de modo que