Determine se mathbfF é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(y e^x+sen y) i+(e^x+x cos y) j

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em R^2
F(x,y) = P(x,y),i + Q(x,y),j,
onde
P(x,y) = y,e^x + sin y, Q(x,y) = e^x + xcos y
Queremos ver se F é conservador e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que
nabla f = F,
isto é,
partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q

Passo 2

Verificamos a condição de conservatividade num domínio simplesmente conexo (aqui todo R^2) comparando as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(y,e^x + sin yr) = e^x + cos y,
partial Qpartial x = partialpartial xl(e^x + xcos yr) = e^x + cos y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x em todo R^2, conclui-se que F é conservador.

Passo 3

Para achar a potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral P(x,y),dx = integral l(y,e^x + sin yr),dx = y,e^x + x,sin y + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos que
partial fpartial y = partialpartial yl(y,e^x + x,sin y + C(y)r) = e^x + xcos y + C'(y)
deve ser igual a Q(x,y)=e^x+xcos y. Logo
e^x + xcos y + C'(y) = e^x + xcos y Longrightarrow C'(y)=0
e portanto C(y) é constante.

Resposta

A função potencial pode ser escolhida como
f(x,y) = y,e^x + x,sin y + constante,
de modo que
nabla f = l(y,e^x+sin y,;e^x+xcos yr) = F(x,y)

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