[2 pts] Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
e
é o triângulo com vértices
,
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de Stokes, onde
e
é o triângulo de vértices
,
e
. Pelo Teorema de Stokes,
onde
é a face triangular
no primeiro octante.
Passo 2
Vamos achar
.
Passo 3
Parametrizamos
S por
com
x>=0,;y>=0,;x+y<=1 .
Então
Então
e
Esse vetor é normal à superfície e já incorpora o
dS .
Passo 4
No integrando aparece
Como na superfície
z=1-x-y , fica
Passo 5
Agora integramos sobre o domínio triangular
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1 :
Calculando em ordem
y depois
x dá