[2 pts] Use o Teorema de Stokes para calcular
ointC F cdot d r,
onde F(x, y, z)=(2 y z-x) i+(3 x z+y) j+(x^2+y^2) k e C é o triângulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCvec Fcdot dvec r
usando o Teorema de Stokes, onde
vec F(x,y,z) = (2yz - x),vec i + (3xz + y),vec j + (x^2 + y^2),vec k
e C é o triângulo de vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Pelo Teorema de Stokes,
ointCvec Fcdot dvec r = integral duplaS(nablatimes vec F)cdot vec n,dS,
onde S é a face triangular x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 2

Vamos achar nablatimesvec F.
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz 2yz - x & 3xz + y & x^2+y^2 = l(2y-3x,;2y-2x,;zr)

Passo 3

Parametrizamos S por
vec r(x,y) = l(x,;y,;1-x-yr),
com x>=0,;y>=0,;x+y<=1.
Então
vec rx = (1,0,-1), vec ry=(0,1,-1)
e
vec rxtimesvec ry = (1,1,1)
Esse vetor é normal à superfície e já incorpora o dS.

Passo 4

No integrando aparece
(nablatimesvec F)cdot(vec rxtimesvec ry) = (2y-3x)+(2y-2x)+z =4y-5x+z
Como na superfície z=1-x-y, fica
4y-5x+(1-x-y) = -6x+3y+1

Passo 5

Agora integramos sobre o domínio triangular D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1:
integral duplaD(-6x+3y+1),dA =integralx=0^1!integraly=0^1-xl(-6x+3y+1r),dy,dx
Calculando em ordem y depois x
integral0^1l[,-6x,y+tfrac32y^2+yr]y=0^y=1-xdx =integral0^1l(tfrac52-10x+tfrac152x^2r)dx =0

Resposta

ointCvec Fcdot dvec r = 0

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