Determine:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-s}}{s^{2}-2 s+2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\frac{s e^{-s}}{s^{2}-2 s+2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há um fator de atraso/exponencial multiplicando a função no domínio de s: e^{-s}.
  • O núcleo racional é \dfrac{s}{s^{2}-2s+2}.
  • A tarefa é calcular \mathcal{L}^{-1} dessa expressão completa, ou seja, a função no domínio do tempo correspondente.

Passo 2

Vamos tratar primeiro a parte sem o fator de atraso: identificar a transformada inversa de
\frac{s}{s^{2}-2s+2}.
Primeiro passo algébrico: completar o quadrado no denominador. Temos
s^{2}-2s+2=(s-1)^{2}+1.
Portanto podemos reescrever a função como
\frac{s}{(s-1)^{2}+1}.

Passo 3

Agora decomponho o numerador para reconhecer formas padrão de transformadas de Laplace. Escrevo
s=(s-1)+1,
logo
\frac{s}{(s-1)^{2}+1}=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}+\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.
Vou lembrar as transformadas padrão essenciais (isso é importante para a prova):
  • \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
  • \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
    Aqui as variáveis significam: a é o parâmetro de crescimento/exponencial, b é a frequência da parte oscilatória, s é a variável da transformada de Laplace.

Passo 4

Compare cada termo com as formas padrão:
  • O termo \dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+1} tem a forma \dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}} com a=1 e b=1. Sua transformada inversa é e^{t}\cos t.
  • O termo \dfrac{1}{(s-1)^{2}+1} tem a forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} com a=1 e b=1 (observe que aqui b=1, então o numerador b é 1). Sua transformada inversa é e^{t}\sin t.
Portanto a transformada inversa da parte sem atraso é
e^{t}\cos t + e^{t}\sin t = e^{t}\big(\cos t+\sin t\big).

Passo 5

Agora tratamos o fator de atraso e^{-s}. Vou usar o Teorema do Deslocamento no Tempo (segunda propriedade de deslocamento):
  • Se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
    onde u(t-a) é a função degrau de Heaviside (igual a 0 para t<a e igual a 1 para t\ge a). Aqui a é o tempo de atraso.
No nosso caso temos a=1 e F(s)=\dfrac{s}{s^{2}-2s+2}, cuja inversa vimos ser f(t)=e^{t}\big(\cos t+\sin t\big). Logo a presença de e^{-s} indica que a função tempo correspondente será deslocada por 1 e multiplicada por u(t-1):
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-s}F(s)\}=f(t-1)u(t-1).

Passo 6

Calculo explicitamente f(t-1). Substituo t por t-1 em f(t)=e^{t}\big(\cos t+\sin t\big):
f(t-1)=e^{\,t-1}\big(\cos(t-1)+\sin(t-1)\big).
Assim, aplicando o deslocamento temporal com u(t-1), a transformada inversa completa é
e^{\,t-1}\big(\cos(t-1)+\sin(t-1)\big)\,u(t-1).

Resposta

e^{\,t-1}\big(\cos(t-1)+\sin(t-1)\big)u(t-1)

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