Determine:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há um fator de atraso/exponencial multiplicando a função no domínio de
: . - O núcleo racional é
. - A tarefa é calcular
dessa expressão completa, ou seja, a função no domínio do tempo correspondente.
Passo 2
Vamos tratar primeiro a parte sem o fator de atraso: identificar a transformada inversa de
Primeiro passo algébrico: completar o quadrado no denominador. Temos
Portanto podemos reescrever a função como
Passo 3
Agora decomponho o numerador para reconhecer formas padrão de transformadas de Laplace. Escrevo
logo
Vou lembrar as transformadas padrão essenciais (isso é importante para a prova):
-
. -
.
Aqui as variáveis significam:é o parâmetro de crescimento/exponencial, é a frequência da parte oscilatória, é a variável da transformada de Laplace.
Passo 4
Compare cada termo com as formas padrão:
- O termo
tem a forma com e . Sua transformada inversa é . - O termo
tem a forma com e (observe que aqui , então o numerador é ). Sua transformada inversa é .
Portanto a transformada inversa da parte sem atraso é
Passo 5
Agora tratamos o fator de atraso
. Vou usar o Teorema do Deslocamento no Tempo (segunda propriedade de deslocamento):
- Se
, então ,
ondeé a função degrau de Heaviside (igual a para e igual a para ). Aqui é o tempo de atraso.
No nosso caso temos
e
, cuja inversa vimos ser
. Logo a presença de
indica que a função tempo correspondente será deslocada por
e multiplicada por
:
Passo 6
Calculo explicitamente
. Substituo
por
em
:
Assim, aplicando o deslocamento temporal com
, a transformada inversa completa é