As perguntas são: encontrar a solução y(t) para todos os t\ge0 e escrever essa solução na forma com a função degrau unitária u_{2\pi}(t).
Informações relevantes fornecidas:
Equação diferencial linear de segunda ordem com termo forçante dependente de t (peça por peça).
Condições iniciais em t=0: y(0)=0 e y'(0)=0.
O forçante é a constante 9 no intervalo inicial e passa a ser 0 a partir de t=2\pi.]
Passo 2
Resolver a equação para 0\le t<2\pi (onde o forçante é 9).
Primeiro precisamos da solução geral da equação homogênea associada
y_h''+9y_h=0.
A equação característica é
r^2+9=0,
cuja solução é r=\pm 3i. Para raízes imaginárias puras \pm 3i a solução homogênea tem a forma
y_h(t)=C\cos(3t)+D\sin(3t),
onde C e D são constantes a determinar.
Agora buscamos uma solução particular y_p(t) da equação não-homogênea
y''+9y=9.
Como o lado direito é uma constante, tentamos y_p(t)=A (constante). Substituindo:
0+9A=9\quad\Longrightarrow\quad A=1.
Portanto a solução geral no intervalo 0\le t<2\pi é
y(t)=1+C\cos(3t)+D\sin(3t).
Passo 3
Aplicar as condições iniciais em t=0 para encontrar C e D.
Calcule y(0):
y(0)=1+C\cos(0)+D\sin(0)=1+C.
Como y(0)=0, obtemos 1+C=0\Rightarrow C=-1.
Calcule y'(t) e avalie em t=0:
y'(t)=-3C\sin(3t)+3D\cos(3t).
Logo
y'(0)=-3C\cdot 0 + 3D\cdot 1 = 3D.
Como y'(0)=0, obtemos D=0.
Assim, para 0\le t<2\pi a solução é
y(t)=1-\cos(3t).
Pequena intuição pedagógica: a solução se escreve como soma da resposta estacionária y_p=1 (equilíbrio devido ao forçante constante 9) e das oscilações livres -\cos(3t) que ajustam as condições iniciais.
Passo 4
Determinar a solução para t\ge 2\pi. Devemos usar as condições de continuidade em t=2\pi.
Para equações lineares de segunda ordem com forçante finita (sem deltas), tanto y(t) quanto y'(t) são contínuas. Assim as condições iniciais para a nova etapa (a partir de t=2\pi) são os valores da solução obtida pela esquerda em t=2\pi.
Portanto os dados iniciais para a etapa t\ge2\pi são y(2\pi)=0 e y'(2\pi)=0.
Para t\ge2\pi o forçante é 0, então a equação é homogênea
y''+9y=0.
A solução geral é y(t)=A\cos(3t)+B\sin(3t). Impondo y(2\pi)=0 e y'(2\pi)=0 e usando unicidade da solução do problema de valor inicial, a única solução é a solução trivial y(t)\equiv 0 para t\ge2\pi. (Pode-se verificar: se y(2\pi)=0 e y'(2\pi)=0, então as constantes A,B são zero.)
Logo para t\ge2\pi temos y(t)=0.
Passo 5
Reunir as duas peças e escrever em forma com degrau unitário [u_{2\pi}(t)).
quando a expressão estiver multiplicada por u_{2\pi}(t) (já que nesse fator só interessa o comportamento para t\ge2\pi). Substituindo, obtemos a forma dada no enunciado:
Verificação rápida: para t<2\pi tem u_{2\pi}(t)=0 e y=1-\cos(3t). Para t\ge2\pi usamos \cos(3t-6\pi)=\cos(3t) e então y=1-\cos(3t)-1+\cos(3t)=0, conforme obtido na solução por partes.]