Determine:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1-e^{-\pi s}}{s^{3}+3 s^{2}+3 s+1}\right\}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
\frac{1-e^{-\pi s}}{s^{3}+3 s^{2}+3 s+1}.
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
  • O numerador é \,1-e^{-\pi s}\,.
  • O denominador é s^{3}+3 s^{2}+3 s+1.
  • Não há figura nem tabela; tudo necessário está no enunciado acima.
  • A resposta pedida é a função do tempo f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\cdot\}.

Passo 2

Fatoração do denominador (informação útil que simplifica tudo): note que
(s+1)^{3} = s^{3}+3 s^{2}+3 s+1.
Logo podemos reescrever a transformada como
\frac{1-e^{-\pi s}}{s^{3}+3 s^{2}+3 s+1}=\frac{1-e^{-\pi s}}{(s+1)^{3}}.

Passo 3

Achar \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+1)^{3}}\right\}.
Primeiro, lembro uma propriedade prática da transformada de Laplace que vamos usar (mostro a ideia para você entender): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s).
Aplicando isso a f(t)=e^{-t} cuja transformada é \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{1}{s+1}, temos:
  • \dfrac{d}{ds}\!\left(\dfrac{1}{s+1}\right)=-\dfrac{1}{(s+1)^{2}}.
  • \dfrac{d^{2}}{ds^{2}}\!\left(\dfrac{1}{s+1}\right)=\dfrac{2}{(s+1)^{3}}.
Pelo enunciado da propriedade com n=2,
\mathcal{L}\{t^{2}e^{-t}\}= (+1)\cdot \frac{d^{2}}{ds^{2}}\!\left(\frac{1}{s+1}\right)=\frac{2}{(s+1)^{3}}.
Assim
\frac{1}{(s+1)^{3}}=\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{t^{2}e^{-t}\}.
Portanto a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{3}}\right\}=\frac{1}{2}\,t^{2}e^{-t},\qquad t\ge 0.
(Interpretação: a função básica associada a 1/(s+1)^3 é \tfrac{1}{2}t^2 e^{-t}.)

Passo 4

Tratar o fator 1-e^{-\pi s} usando a propriedade de deslocamento temporal (segunda propriedade de deslocamento):
Propriedade (explicada): se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então para a>0,
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s),
onde u(t-a) é a função degrau/unit step (Heaviside) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a. Pela linearidade da Laplace, se tivermos
(1-e^{-a s})G(s),
a transformada inversa é
g(t)-u(t-a)g(t-a).
Resumo curto: multiplicar por e^{-a s} corresponde a atrasar a função no tempo por a e multiplicar por u(t-a).

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
  • Tomamos a=\pi.
  • Tomamos G(s)=\dfrac{1}{(s+1)^{3}} e já encontramos g(t)=\dfrac{1}{2}t^{2}e^{-t}.
Pelo que vimos,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1-e^{-\pi s}}{(s+1)^{3}}\right\} = g(t) - u(t-\pi)\,g(t-\pi).
Agora substituímos g:
g(t)=\frac{1}{2}t^{2}e^{-t}, \qquad g(t-\pi)=\frac{1}{2}(t-\pi)^{2}e^{-(t-\pi)}.

Passo 6

Escrevendo explicitamente a função no tempo (aqui consolidamos tudo):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1-e^{-\pi s}}{s^{3}+3 s^{2}+3 s+1}\right\} =\frac{1}{2}t^{2}e^{-t}-u(t-\pi)\,\frac{1}{2}(t-\pi)^{2}e^{-(t-\pi)}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}t^{2}e^{-t}-u(t-\pi)\,\frac{1}{2}(t-\pi)^{2}e^{-(t-\pi)}

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