Determine:
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Não há figura nem tabela; tudo necessário está no enunciado acima.
- A resposta pedida é a função do tempo
.
Passo 2
Fatoração do denominador (informação útil que simplifica tudo): note que
Logo podemos reescrever a transformada como
Passo 3
Achar
.
Primeiro, lembro uma propriedade prática da transformada de Laplace que vamos usar (mostro a ideia para você entender): se
, então
Aplicando isso a
cuja transformada é
, temos:
-
. -
.
Pelo enunciado da propriedade com
,
Assim
Portanto a transformada inversa é
(Interpretação: a função básica associada a
é
.)
Passo 4
Tratar o fator
usando a propriedade de deslocamento temporal (segunda propriedade de deslocamento):
Propriedade (explicada): se
, então para
,
onde
é a função degrau/unit step (Heaviside) que vale
para
e
para
. Pela linearidade da Laplace, se tivermos
a transformada inversa é
Resumo curto: multiplicar por
corresponde a atrasar a função no tempo por
e multiplicar por
.
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso:
- Tomamos
. - Tomamos
e já encontramos .
Pelo que vimos,
Agora substituímos
:
Passo 6
Escrevendo explicitamente a função no tempo (aqui consolidamos tudo):