Determine:
\mathcal{L}\left\{\sin (t) u_{\pi}(t)+\cos (2 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace de \sin(t)\,u_{\pi}(t)+\cos(2t). Informações e dados que temos no problema:
  • A função a transformar é \sin(t)\,u_{\pi}(t)+\cos(2t).
  • Aqui tomo u_{\pi}(t) como a função degrau unitário deslocada, isto é u_{\pi}(t)=u(t-\pi) (a função que vale 0 para t<\pi e 1 para t\ge\pi).
  • Vamos usar linearidade da transformada de Laplace e propriedades de deslocamento no tempo (teorema do segundo deslocamento / teorema de Heaviside).
  • Não começo a resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Lembrete útil e fórmula básica: a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é um número complexo (na prática para essas funções reais cobrimos \Re(s)>0 para convergência). A transformada é linear, ou seja
\mathcal{L}\{f(t)+g(t)\}(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
Aplicando linearidade ao nosso problema obtemos
\mathcal{L}\{\sin(t)u_{\pi}(t)+\cos(2t)\}(s)=\mathcal{L}\{\sin(t)u_{\pi}(t)\}(s)+\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s).

Passo 3

Calculo mais simples primeiro: \mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s).
Fórmula padrão (derivável pela integral ou por exponencial complexa) é
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \Re(s)>0.
Aqui a=2, portanto
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Explico rápido o que significa cada símbolo: s é a variável da transformada (geralmente complexa), e a é a frequência angular da função cosseno. A expressão vale para valores de s cuja parte real é positiva, garantindo convergência da integral.

Passo 4

Agora vamos a \mathcal{L}\{\sin(t)u_{\pi}(t)\}(s). Primeiro recordo a propriedade de deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento):
se tivermos uma função na forma f(t)=g(t-a)\,u(t-a) com a>0, então
\mathcal{L}\{g(t-a)\,u(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
A ideia da demonstração rápida: numa integral da transformada, fazemos a mudança de variável \tau=t-a e aparece o fator e^{-a s}.

Passo 5

Observação importante: \sin(t)u_{\pi}(t) não está imediatamente na forma g(t-\pi)u(t-\pi), mas dá para manipular com identidade trigonométrica. Use a identidade de soma:
\sin(t)=\sin\big((t-\pi)+\pi\big)=\sin(t-\pi)\cos\pi+\cos(t-\pi)\sin\pi.
Sabendo \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, isso reduz para
\sin(t)= -\sin(t-\pi).
Logo, para t\ge\pi (onde u_{\pi}(t)=1) vale \sin(t)=-\sin(t-\pi). Multiplicando por u_{\pi}(t)=u(t-\pi) obtemos a igualdade válida para todos t:
\sin(t)\,u_{\pi}(t) = -\sin(t-\pi)\,u(t-\pi).
Agora a função está na forma apropriada com g(\tau)=-\sin(\tau) e a=\pi.

Passo 6

Aplicando a propriedade de deslocamento com g(t)=-\sin t e a=\pi:
\mathcal{L}\{\sin(t)\,u_{\pi}(t)\}(s)=\mathcal{L}\{-\sin(t-\pi)\,u(t-\pi)\}(s)=e^{-\pi s}\,\mathcal{L}\{-\sin t\}(s).
A transformada de \sin t é (fórmula padrão)
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},\qquad \Re(s)>0,
portanto
\mathcal{L}\{-\sin t\}(s)=-\frac{1}{s^{2}+1}.
Combinação dá
\mathcal{L}\{\sin(t)\,u_{\pi}(t)\}(s)=e^{-\pi s}\left(-\frac{1}{s^{2}+1}\right)=-\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1}.

Passo 7

Agora volto à linearidade (Passo 2) e junto as duas partes que já calculei:
\mathcal{L}\{\sin(t)u_{\pi}(t)+\cos(2t)\}(s)= -\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1}+\frac{s}{s^{2}+4}.
Podemos reescrever em ordem conveniente:
\mathcal{L}\{\sin(t)u_{\pi}(t)+\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}-\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1},
válido para \Re(s)>0.

Resposta

\frac{s}{s^{2}+4}-\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1}

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