Determine:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace de
. Informações e dados que temos no problema:
- A função a transformar é
. - Aqui tomo
como a função degrau unitário deslocada, isto é (a função que vale para e para ). - Vamos usar linearidade da transformada de Laplace e propriedades de deslocamento no tempo (teorema do segundo deslocamento / teorema de Heaviside).
- Não começo a resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Lembrete útil e fórmula básica: a transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é um número complexo (na prática para essas funções reais cobrimos
para convergência). A transformada é linear, ou seja
Aplicando linearidade ao nosso problema obtemos
Passo 3
Calculo mais simples primeiro:
.
Fórmula padrão (derivável pela integral ou por exponencial complexa) é
Fórmula padrão (derivável pela integral ou por exponencial complexa) é
Aqui
, portanto
Explico rápido o que significa cada símbolo:
é a variável da transformada (geralmente complexa), e
é a frequência angular da função cosseno. A expressão vale para valores de
cuja parte real é positiva, garantindo convergência da integral.
Passo 4
Agora vamos a
. Primeiro recordo a propriedade de deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento):
se tivermos uma função na forma com
, então
se tivermos uma função na forma
A ideia da demonstração rápida: numa integral da transformada, fazemos a mudança de variável
e aparece o fator
.
Passo 5
Observação importante:
não está imediatamente na forma
, mas dá para manipular com identidade trigonométrica. Use a identidade de soma:
Sabendo
e
, isso reduz para
Logo, para
(onde
) vale
. Multiplicando por
obtemos a igualdade válida para todos
:
Agora a função está na forma apropriada com
e
.
Passo 6
Aplicando a propriedade de deslocamento com
e
:
A transformada de
é (fórmula padrão)
portanto
Combinação dá
Passo 7
Agora volto à linearidade (Passo 2) e junto as duas partes que já calculei:
Podemos reescrever em ordem conveniente:
válido para
.