(a) Encontre a solução geral da equação de Cauchy-Euler dada por
(b) A equação diferencial é linear ou não linear? Justifique.
R : Linear pois pode ser escrita na forma
(b) A equação diferencial é linear ou não linear? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar a solução geral da equação de Cauchy–Euler
- (b) Dizer se a equação é linear ou não e justificar.
Informações dadas relevantes:
- A equação tem a forma típica de Cauchy–Euler, com termos
, e . - O termo do lado direito é
. - Implicita está a restrição
(porque aparece ).
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): para equações de Cauchy–Euler é muito prático usar a troca de variável
. Definimos
Essa mudança transforma uma equação de Euler em uma equação de coeficientes constantes em
, o que facilita achar a solução geral.
Passo 3
Compute as derivadas de
em função de
. Como
, vale
. Pela regra da cadeia:
Logo
Agora derivamos novamente em relação a
. Uma forma prática é usar
. Assim
Como
, temos
Multiplicando por
obtém-se
Resumo das fórmulas obtidas (úteis para substituir):
Passo 4
Substituímos
na equação original. O lado esquerdo fica
Simplificando:
O lado direito, usando
e
, torna-se
Portanto a equação transformada em
é a EDO de coeficientes constantes
Passo 5
Resolvemos primeiro a equação homogênea associada
A equação característica é
Calculamos as raízes: isso é
, logo temos raiz dupla
. Para raiz dupla a solução geral homogênea em
é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Voltando para
: como
e
, obtemos a solução homogênea em
:
Isso corresponde à parte com constantes que aparece na resposta esperada.
Passo 7
Agora buscamos uma solução particular
da EDO em
Podemos tratar os termos do lado direito separadamente (linearidade permite somar particularidades).
(a) Para o termo
: fazemos tentativa do tipo
. Calculamos
Queremos
, logo
e
Passo 8
(b) Para o termo polinomial
(grau 1): tentamos
. Então
Aplicando o operador:
Queremos
. Igualando coeficientes:
- coeficiente de
: → . - termo constante:
→ → → .
Logo
Passo 9
Somando as partes obtém-se a solução particular em
:
Voltando a
(substituindo
e
) obtemos a solução particular em
:
Passo 10
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias e domínio
.
Passo 11
(b) Justificativa da linearidade: a equação pode ser escrita como
onde
depende só de
. O operador
satisfaz
para quaisquer escalares
, logo é linear. Alternativamente, dividindo por
(para
) obtém-se a forma padrão
que está na forma
, característica de EDO linear de segunda ordem.