Determine a Matriz Adjunta das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta de
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
Lembrando que a matriz adjunta de A, dita \mathrm{adj}(A), é a transposta da matriz de cofatores de A. O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante da submatriz que resulta de eliminar a linha i e a coluna j de A.

Passo 2

Vamos calcular os cofatores da primeira linha:
M_{11} = \det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 6 & 0\end{pmatrix} = 1\cdot0-4\cdot6 = -24, \quad C_{11} = (-1)^{1+1}(-24) = -24.
M_{12} = \det\begin{pmatrix}0 & 4\\\ 5 & 0\end{pmatrix} = 0\cdot0-4\cdot5 = -20, \quad C_{12} = (-1)^{1+2}(-20) = 20.
M_{13} = \det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 5 & 6\end{pmatrix} = 0\cdot6-1\cdot5 = -5, \quad C_{13} = (-1)^{1+3}(-5) = -5.

Passo 3

Agora os cofatores da segunda linha:
M_{21} = \det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 6 & 0\end{pmatrix} = 2\cdot0-3\cdot6 = -18, \quad C_{21} = (-1)^{2+1}(-18) = 18.
M_{22} = \det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 5 & 0\end{pmatrix} = 1\cdot0-3\cdot5 = -15, \quad C_{22} = (-1)^{2+2}(-15) = -15.
M_{23} = \det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 5 & 6\end{pmatrix} = 1\cdot6-2\cdot5 = -4, \quad C_{23} = (-1)^{2+3}(-4) = 4.

Passo 4

Por fim os cofatores da terceira linha:
M_{31} = \det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 1 & 4\end{pmatrix} = 2\cdot4-3\cdot1 = 5, \quad C_{31} = (-1)^{3+1}(5) = 5.
M_{32} = \det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 0 & 4\end{pmatrix} = 1\cdot4-3\cdot0 = 4, \quad C_{32} = (-1)^{3+2}(4) = -4.
M_{33} = \det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1-2\cdot0 = 1, \quad C_{33} = (-1)^{3+3}(1) = 1.

Passo 5

A matriz de cofatores de A é
C = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5\\\\ 18 & -15 & 4\\\\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}
e, por definição,
\mathrm{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5\\\\ 20 & -15 & -4\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\mathrm{adj}\bigl(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5\\\\ 20 & -15 & -4\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}.

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