Determine a Matriz Adjunta das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (ou adjugata) de
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para isso, precisamos calcular a matriz de cofatores de A e depois transpor essa matriz.

Passo 2

Calcular os cofatores da primeira linha de A.
O cofactor C_{11} é
C_{11} = (+1)\det\begin{pmatrix}0 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 0\cdot1 - (-2)\cdot1 = 2.
O cofactor C_{12} é
C_{12} = (-1)\det\begin{pmatrix}2 & -2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = -\bigl(2\cdot1 -(-2)\cdot0\bigr) = -2.
O cofactor C_{13} é
C_{13} = (+1)\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = 2\cdot1 - 0\cdot0 = 2.

Passo 3

Calcular os cofatores da segunda linha de A.
O cofactor C_{21} é
C_{21} = (-1)\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = -\bigl(0\cdot1 - 2\cdot1\bigr) = 2.
O cofactor C_{22} é
C_{22} = (+1)\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = 3\cdot1 - 2\cdot0 = 3.
O cofactor C_{23} é
C_{23} = (-1)\det\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = -\bigl(3\cdot1 - 0\cdot0\bigr) = -3.

Passo 4

Calcular os cofatores da terceira linha de A.
O cofactor C_{31} é
C_{31} = (+1)\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & -2\end{pmatrix} = 0\cdot(-2) - 2\cdot0 = 0.
O cofactor C_{32} é
C_{32} = (-1)\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 2 & -2\end{pmatrix} = -\bigl(3\cdot(-2) - 2\cdot2\bigr) = -(-6 - 4) = 10.
O cofactor C_{33} é
C_{33} = (+1)\det\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 2 & 0\end{pmatrix} = 3\cdot0 - 0\cdot2 = 0.

Passo 5

A matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} 2 & -2 & 2\\\\ 2 & 3 & -3\\\\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix}.
A matriz adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ -2 & 3 & 10\\\\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ -2 & 3 & 10\\\\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados