Determine a matriz adjunta das seguintes matrizes
(c)
\mathrm{C}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 10 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 \\\\ -6 & 12 & 8\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (ou adjuncta) de
C = \begin{pmatrix} 2 & 10 & 1\\\\ 0 & 3 & 3\\\\ -6 & 12 & 8 \end{pmatrix}.
Para isso usamos a definição de adjunta: é a transposta da matriz de cofatores. Logo, primeiro calculamos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.

Passo 2

Calculando os cofatores da primeira linha:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & 3\\\ 12 & 8\end{pmatrix}=3\cdot8-3\cdot12=-12,\qquad C_{11}=(-1)^{1+1}(-12)=-12.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ -6 & 8\end{pmatrix}=0\cdot8-3\cdot(-6)=18,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}(18)=-18.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ -6 & 12\end{pmatrix}=0\cdot12-3\cdot(-6)=18,\qquad C_{13}=(-1)^{1+3}(18)=18.

Passo 3

Calculando os cofatores da segunda linha:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}10 & 1\\\ 12 & 8\end{pmatrix}=10\cdot8-1\cdot12=68,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}(68)=-68.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -6 & 8\end{pmatrix}=2\cdot8-1\cdot(-6)=22,\qquad C_{22}=(-1)^{2+2}(22)=22.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & 10\\\ -6 & 12\end{pmatrix}=2\cdot12-10\cdot(-6)=84,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}(84)=-84.

Passo 4

Calculando os cofatores da terceira linha:
M_{31}=\det\begin{pmatrix}10 & 1\\\ 3 & 3\end{pmatrix}=10\cdot3-1\cdot3=27,\qquad C_{31}=(-1)^{3+1}(27)=27.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot0=6,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}(6)=-6.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & 10\\\ 0 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-10\cdot0=6,\qquad C_{33}=(-1)^{3+3}(6)=6.
Portanto a matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} -12 & -18 & 18\\\\ -68 & 22 & -84\\\\ 27 & -6 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 5

A adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores, ou seja
\operatorname{adj}\text{(C)}= \begin{pmatrix} -12 & -68 & 27\\\\ -18 & 22 & -6\\\\ 18 & -84 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

\operatorname{adj}\text{(C)}= \begin{pmatrix} -12 & -68 & 27\\\\ -18 & 22 & -6\\\\ 18 & -84 & 6 \end{pmatrix}.

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