Determine a matriz adjunta das seguintes matrizes
(b)
\mathrm{B}=\left(\begin{array}{rrr}12 & 0 & 3 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (ou adjugata) de B. Para isso, vamos usar o fato de que a adjunta de uma matriz quadrada é a transposta da matriz dos cofatores. Ou seja, precisamos calcular, para cada posição (i,j), o cofator
C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}),
em que M_{ij} é a matriz obtida de B eliminando-se a linha i e a coluna j. Depois montamos a matriz (C_{ij}) e transpondo-a obtemos \mathrm{adj}(B).

Passo 2

Calculamos os cofatores da primeira linha i=1:
- Para C_{11}:
M_{11}=\begin{pmatrix}4 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \det(M_{11})=4\cdot0 - 1\cdot1 = -1, \quad C_{11}=(-1)^{1+1}(-1)=-1.
- Para C_{12}:
M_{12}=\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2 & 0\end{pmatrix},\quad \det(M_{12})=3\cdot0 - 1\cdot2 = -2, \quad C_{12}=(-1)^{1+2}(-2)=+2.
- Para C_{13}:
M_{13}=\begin{pmatrix}3 & 4\\\ 2 & 1\end{pmatrix},\quad \det(M_{13})=3\cdot1 - 4\cdot2 = -5, \quad C_{13}=(-1)^{1+3}(-5)=-5.

Passo 3

Calculamos os cofatores da segunda linha i=2:
- Para C_{21}:
M_{21}=\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \det(M_{21})=0\cdot0 - 3\cdot1 = -3, \quad C_{21}=(-1)^{2+1}(-3)=+3.
- Para C_{22}:
M_{22}=\begin{pmatrix}12 & 3\\\ 2 & 0\end{pmatrix},\quad \det(M_{22})=12\cdot0 - 3\cdot2 = -6, \quad C_{22}=(-1)^{2+2}(-6)=-6.
- Para C_{23}:
M_{23}=\begin{pmatrix}12 & 0\\\ 2 & 1\end{pmatrix},\quad \det(M_{23})=12\cdot1 - 0\cdot2 = 12, \quad C_{23}=(-1)^{2+3}(12)=-12.

Passo 4

Calculamos os cofatores da terceira linha i=3:
- Para C_{31}:
M_{31}=\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 4 & 1\end{pmatrix},\quad \det(M_{31})=0\cdot1 - 3\cdot4 = -12, \quad C_{31}=(-1)^{3+1}(-12)=-12.
- Para C_{32}:
M_{32}=\begin{pmatrix}12 & 3\\\ 3 & 1\end{pmatrix},\quad \det(M_{32})=12\cdot1 - 3\cdot3 = 3, \quad C_{32}=(-1)^{3+2}(3)=-3.
- Para C_{33}:
M_{33}=\begin{pmatrix}12 & 0\\\ 3 & 4\end{pmatrix},\quad \det(M_{33})=12\cdot4 - 0\cdot3 = 48, \quad C_{33}=(-1)^{3+3}(48)=48.

Passo 5

A matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\\ C_{21} & C_{22} & C_{23}\\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -5\\\\ 3 & -6 & -12\\\\ -12 & -3 & 48 \end{pmatrix}.
Transpondo-a, obtemos a adjunta:
\mathrm{adj}(B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -12\\\\ 2 & -6 & -3\\\\ -5 & -12 & 48 \end{pmatrix}.

Resposta

\mathrm{adj}(B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -12\\\\ 2 & -6 & -3\\\\ -5 & -12 & 48 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados