Determine a matriz associada, à transformação linear T.
T(x, y, z)=(2 x+y-z, x-y)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z) = (\,2x + y - z,\;x - y\,).
Para encontrar essa matriz no sistema de coordenadas padrão, vamos usar o fato de que as colunas da matriz são as imagens de cada um dos vetores canônicos de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular T aplicado aos vetores canônicos \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0) e \mathbf{e}_3=(0,0,1):
T(1,0,0) = (\,2\cdot1 + 0 - 0,\;1 - 0\,) = (2,\,1),
T(0,1,0) = (\,2\cdot0 + 1 - 0,\;0 - 1\,) = (1,\,-1),
T(0,0,1) = (\,2\cdot0 + 0 - 1,\;0 - 0\,) = (-1,\,0).

Passo 3

Montar a matriz de T colocando essas imagens como colunas, na ordem \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3:
[T] = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}

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